A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo y é dada por
, onde y está em metros e tem segundos. Determine:
(d) Qual é a coordenada máxima alcançada pela partícula
(d) Qual é a coordenada máxima alcançada pela partícula
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. A questão nos dá a posição de uma partícula ao longo do eixo $ y $ em função do tempo, expressa pela função $ y(t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t $. Nosso objetivo aqui é encontrar a coordenada máxima que essa partícula alcança. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar os pontos onde a velocidade é zero, o que pode indicar possíveis máximos.
Passo 2
Vamos começar encontrando a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos a função $ y(t) $ em relação a $ t $:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos onde a velocidade é zero (ou seja, onde a partícula para momentaneamente), resolvemos a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática. Fatorando, temos:
Então, as soluções são:
Passo 5
Esses valores de $ t $ são os tempos onde a partícula para, podendo indicar um ponto de máximo. Para confirmar se é realmente um máximo, vamos calcular a posição nesses tempos.
Primeiro, para $ t = 1 $:
Agora, para $ t = 3 $:
Passo 6
Comparando as posições, vemos que no tempo $ t = 1 $ a coordenada $ y $ é 4 metros, enquanto no tempo $ t = 3 $ é 0 metros. Portanto, o maior valor alcançado pela coordenada $ y $ é 4 metros.
Resposta
A coordenada máxima alcançada pela partícula é $ 4 $ metros.