A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo y é dada por y(t)=t^3- 6 t^2+9 t, onde y está em metros e tem segundos. Determine:
(d) Qual é a coordenada máxima alcançada pela partícula

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. A questão nos dá a posição de uma partícula ao longo do eixo $ y $ em função do tempo, expressa pela função $ y(t) = t^{3} - 6 t^{2} + 9 t $. Nosso objetivo aqui é encontrar a coordenada máxima que essa partícula alcança. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas para encontrar os pontos onde a velocidade é zero, o que pode indicar possíveis máximos.

Passo 2

Vamos começar encontrando a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos a função $ y(t) $ em relação a $ t $:
y(t)

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos onde a velocidade é zero (ou seja, onde a partícula para momentaneamente), resolvemos a equação:
3 t^2 - 12 t + 9 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
t^2 - 4 t + 3 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática. Fatorando, temos:
(t - 1)(t - 3) = 0
Então, as soluções são:
t = 1 ou t = 3

Passo 5

Esses valores de $ t $ são os tempos onde a partícula para, podendo indicar um ponto de máximo. Para confirmar se é realmente um máximo, vamos calcular a posição nesses tempos.
Primeiro, para $ t = 1 $:
t
Agora, para $ t = 3 $:
t = 1

Passo 6

Comparando as posições, vemos que no tempo $ t = 1 $ a coordenada $ y $ é 4 metros, enquanto no tempo $ t = 3 $ é 0 metros. Portanto, o maior valor alcançado pela coordenada $ y $ é 4 metros.

Resposta

A coordenada máxima alcançada pela partícula é $ 4 $ metros.

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