A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=9,75+1,5 t^3, onde x está em centímetros e tem segundos. Calcule:
b) a velocidade instantânea nos tempos t1=2,0 s, t2=2,5 s e t3=3 s

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x descrita pela equação x = 9,75 + 1,5 t^3, onde x está em centímetros e t em segundos. A pergunta é para calcular a velocidade instantânea dessa partícula nos tempos t1 = 2,0,s, t2 = 2,5,s e t3 = 3,0,s. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que relaciona a posição com a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso é representado pela derivada da função posição x(t) em relação a t:
v(t) = dxdt
Então, nossa missão é encontrar essa derivada.

Passo 3

Vamos derivar a função x(t) = 9,75 + 1,5 t^3:
dxdt = ddt(9,75) + ddt(1,5 t^3) = 0 + 1,5 cdot 3 t^2 = 4,5 t^2
Assim, a expressão da velocidade instantânea fica:
v(t) = 4,5 t^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade nos três tempos dados substituindo t na fórmula que encontramos.
Primeiro, para t1 = 2,0,s:
v(2,0) = 4,5 times (2,0)^2 = 4,5 times 4 = 18,cm/s

Passo 5

Segundo, para t2 = 2,5,s:
v(2,5) = 4,5 times (2,5)^2 = 4,5 times 6,25 = 28,125,cm/s

Passo 6

Por fim, para t3 = 3,0,s:
v(3,0) = 4,5 times (3,0)^2 = 4,5 times 9 = 40,5,cm/s

Resposta

A velocidade instantânea nos tempos solicitados são:
  • Em 2,0,s: 18,cm/s
  • Em 2,5,s: 28,125,cm/s
  • Em 3,0,s: 40,5,cm/s

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