A posição de uma partícula que se move em um plano x y é dada por:
r(t)=(2 t^2+9 t) i+(2 t^2+t^5) j (SI),
onde r está em metros e t em segundos. Na notação dos vetores unitários, calcule:
  1. r no instante t=5 s;
  2. v no instante t=5 s;
  3. a no instante t=5 s;
  4. O ângulo entre o semieixo positivo x e a reta tangente à trajetória da partícula em t=5 s.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a posição da partícula em função do tempo é
r(t)=l(2t^2+9tr),hatimath+l(2t^2+t^5r),hatjmath
aqui em metros, com em segundos. O conteúdo é derivada de vetores:
  • pra achar a velocidade a gente deriva em relação a ,
  • pra achar a aceleração a gente deriva em relação a ,
  • e pra achar o ângulo entre a reta tangente (direção da velocidade) e o eixo , a gente usa trig com .
    Então, vamos precisar: regra de derivação de potências e a definição de arco-tangente.

Passo 2

Queremos x(5) &= 2cdot5^2 + 9cdot5 = 2cdot25 + 45 = 50 + 45 = 95, y(5) &= 2cdot5^2 + 5^5 = 50 + 3125 = 3175 . É só substituir vec r(5) = 95,hatimath + 3175,hatjmath(m) em cada componente:
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Passo 3

Agora vx(t) &= ddt(2t^2+9t) = 4t + 9, vy(t) &= ddt(2t^2+t^5) = 4t + 5t^4 . Derivando componente a componente:
vx(5) &= 4cdot5 + 9 = 20 + 9 = 29, vy(5) &= 4cdot5 + 5cdot5^4 = 20 + 5cdot625 = 20 + 3125 = 3145
Em vec v(5) = 29,hatimath + 3145,hatjmath(m/s) :
Então

Passo 4

A aceleração é ax(t) &= ddt(4t+9) = 4, ay(t) &= ddt(4t+5t^4) = 4 + 20t^3 . De novo, derivada de cada componente:
ax(5) &= 4, ay(5) &= 4 + 20cdot5^3 = 4 + 20cdot125 = 4 + 2500 = 2504
Em vec a(5) = 4,hatimath + 2504,hatjmath(m/s^2) :
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Passo 5

O ângulo tantheta = vy(5)vx(5) = 314529 entre o eixo theta = arctan!l(tfrac314529r) approx arctan(108,448) approx 89,46^circ e a reta tangente é o mesmo da direção de . Usamos
Então

Resposta

1;& vec r(5) = 95,hatimath + 3175,hatjmath (m), 2;& vec v(5) = 29,hatimath + 3145,hatjmath (m/s), 3;& vec a(5) = 4,hatimath + 2504,hatjmath (m/s^2), 4;& theta approx 89,46^circ

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