Um objeto move-se no espaço com posição descrita pelo vetor:
r(t)=(2 t^2-3 t) i+(4 t-5) j+(t^3-2 t) k (SI)
Determine:
  1. A velocidade vetorial v(t) do objeto;
  2. A aceleração vetorial a(t) do objeto;
  3. As componentes da velocidade e da aceleração no instante t=2 s.

Passo 1

Beleza! A gente tem a posição de um objeto no espaço dada por
vec r(t)=l(2t^2-3tr),hat i ;+;l(4t-5r),hat j;+;l(t^3-2tr),hat k
O que o exercício pede é:
  1. A velocidade vetorial , que é a derivada de .
  2. A aceleração vetorial , que é a derivada de .
  3. As componentes de e no tempo .
Conteúdo usado: derivada de funções vetoriais componente a componente. A gente vai precisar lembrar que, pra derivar um vetor, basta derivar cada componente como se fosse uma função escalar.

Passo 2

Vamos achar vec v(t)=x'(t),hat i + y'(t),hat j + z'(t),hat k .
Teoria rápida: se boxedvec v(t) = (4t-3),hat i ;+; 4,hat j ;+;(3t^2-2),hat k , então
Aqui:
  • . Derivada: .
  • . Derivada: .
  • . Derivada: .
Logo,

Passo 3

Agora boxedvec a(t) = 4,hat i ;+; 0,hat j ;+; (6t),hat k = 4,hat i + 6t,hat k . Mesma ideia: derivar cada componente de .
  • Componente : → derivada .
  • Componente : → derivada .
  • Componente : → derivada .
Logo,

Passo 4

Falta só pôr vec v(2) = 5,hat i + 4,hat j + 10,hat k em 4,hat i + 6cdot2,hat k = 4,hat i +12,hat k e .
Para :
  • vira .
  • continua .
  • vira .
Então
Para :

Resposta

vec v(t)&=(4t-3),hat i + 4,hat j + (3t^2-2),hat k, vec a(t)&=4,hat i + 6t,hat k, vec v(2)&=5,hat i + 4,hat j + 10,hat k, vec a(2)&=4,hat i + 12,hat k

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