A posição de uma partícula que se move em um plano
, em unidades do SI, é dada por
(a) Na notação de vetores unitários, calcule
e
, para
.
(b) Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo
e uma reta tangente à trajetória da partícula em
?
(b) Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula no plano
como função do tempo:
As perguntas são:
- (a) Calcular, na notação de vetores unitários,
e para . - (b) Determinar o ângulo entre o sentido positivo do eixo
e a reta tangente à trajetória em .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As componentes da posição são
e . - A velocidade é a derivada temporal da posição:
. - A aceleração é a derivada temporal da velocidade:
. - Para o ângulo da tangente, a direção da velocidade
no instante dado indica a inclinação da reta tangente; o ângulo com o eixo satisfaz , tendo atenção ao quadrante (sinal de e ).
Passo 2
Vamos lembrar as regras básicas de derivação que usaremos (mini-aula rapidinha e prática):
- Regra potência: para uma função
(com constante e real), tem-se . Aqui é o coeficiente numérico e o expoente. - Derivada de soma e subtração: deriva-se termo a termo.
Aplicando isso às componentes: - Para
:
- Para
:
Aqui expliquei passo a passo: multiplica-se o coeficiente pelo expoente e diminui-se o expoente em uma unidade.
Passo 3
Agora avalio
em
. Cálculo termo a termo, mostrando a conta:
- Componente
: Calcule: portanto - Componente
: Calcule: portanto
Logo a posição é
Passo 4
Avalio agora
e
. Já obtivemos simbolicamente:
Substituindo
:
- Para
: - Para
:
Portanto
Passo 5
Avalio
e
. Já tínhamos:
Substituindo
:
- Para
: - Para
:
Logo
Passo 6
Agora calculamos o ângulo
entre o sentido positivo do eixo
e a reta tangente à trajetória em
. Raciocínio didático:
- A reta tangente tem direção dada pelo vetor velocidade
naquele instante. - A inclinação (declive) da tangente é
. - O ângulo medido a partir do eixo
(positivo) é , mas atenção: o arco-tangente padrão retorna um ângulo entre e . Se fosse negativo, teríamos que ajustar com para o quadrante correto. Aqui e , então estamos no quarto quadrante e o resultado da já dá o ângulo correto (negativo, isto é, abaixo do eixo ).
Cálculo:
Para um valor grande em módulo da tangente, o ângulo se aproxima de
rad. Avaliando numericamente (aproximação):
Interpretação em linguagem simples: a reta tangente forma um ângulo de aproximadamente
abaixo do eixo positivo
(ou seja,
contado no sentido anti-horário).
Resposta
(a)
(b)
(ou
; isto é, a tangente está a
abaixo do eixo positivo
)