A posição de uma partícula que se move em um plano x y, em unidades do SI, é dada por
\vec{r}(t)=\left(2,00 t^{3}-5,00 t\right) \hat{\imath}+\left(6,00-7,00 t^{4}\right) \hat{\jmath}
(a) Na notação de vetores unitários, calcule \vec{r}, \vec{v} e \vec{a}, para t=2,00 \mathrm{~s}.
(b) Qual é o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t=2,00 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no plano x y como função do tempo:
\vec{r}(t)=\left(2,00\,t^{3}-5,00\,t\right)\hat{\imath}+\left(6,00-7,00\,t^{4}\right)\hat{\jmath}.
As perguntas são:
  • (a) Calcular, na notação de vetores unitários, \vec{r},\\ \vec{v} e \vec{a} para t=2,00\\ \mathrm{s}.
  • (b) Determinar o ângulo entre o sentido positivo do eixo x e a reta tangente à trajetória em t=2,00\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As componentes da posição são x(t)=2,00\,t^{3}-5,00\,t e y(t)=6,00-7,00\,t^{4}.
  • A velocidade é a derivada temporal da posição: \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}.
  • A aceleração é a derivada temporal da velocidade: \vec{a}(t)=\dfrac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=\dfrac{d\vec{v}}{dt}.
  • Para o ângulo da tangente, a direção da velocidade \vec{v} no instante dado indica a inclinação da reta tangente; o ângulo \theta com o eixo x satisfaz \theta=\arctan\!\big(\dfrac{v_{y}}{v_{x}}\big), tendo atenção ao quadrante (sinal de v_{x} e v_{y}).

Passo 2

Vamos lembrar as regras básicas de derivação que usaremos (mini-aula rapidinha e prática):
  • Regra potência: para uma função f(t)=a\,t^{n} (com a constante e n real), tem-se \dfrac{df}{dt}=a\,n\,t^{n-1}. Aqui a é o coeficiente numérico e n o expoente.
  • Derivada de soma e subtração: deriva-se termo a termo.
    Aplicando isso às componentes:
  • Para x(t)=2,00\,t^{3}-5,00\,t: v_{x}(t)=\dfrac{dx}{dt}=2,00\cdot 3\,t^{2}-5,00\cdot 1=6,00\,t^{2}-5,00.
a_{x}(t)=\dfrac{dv_{x}}{dt}=6,00\cdot 2\,t=12,00\,t.
  • Para y(t)=6,00-7,00\,t^{4}: v_{y}(t)=\dfrac{dy}{dt}=0-7,00\cdot 4\,t^{3}=-28,00\,t^{3}.
a_{y}(t)=\dfrac{dv_{y}}{dt}=-28,00\cdot 3\,t^{2}=-84,00\,t^{2}.
Aqui expliquei passo a passo: multiplica-se o coeficiente pelo expoente e diminui-se o expoente em uma unidade.

Passo 3

Agora avalio \vec{r}(t) em t=2,00\\ \mathrm{s}. Cálculo termo a termo, mostrando a conta:
  • Componente x: x(2,00)=2,00\cdot(2,00)^{3}-5,00\cdot(2,00).Calcule: (2,00)^{3}=8,00,\qquad 2,00\cdot 8,00=16,00,\qquad 5,00\cdot 2,00=10,00,portanto x(2,00)=16,00-10,00=6,00.
  • Componente y: y(2,00)=6,00-7,00\cdot(2,00)^{4}.Calcule: (2,00)^{4}=16,00,\qquad 7,00\cdot 16,00=112,00,portanto y(2,00)=6,00-112,00=-106,00.
Logo a posição é
\vec{r}(2,00)=6,00\,\hat{\imath}-106,00\,\hat{\jmath}\quad(\mathrm{m}).

Passo 4

Avalio agora \vec{v}(t) e \vec{v}(2,00). Já obtivemos simbolicamente:
v_{x}(t)=6,00\,t^{2}-5,00,\qquad v_{y}(t)=-28,00\,t^{3}.
Substituindo t=2,00:
  • Para v_{x}: v_{x}(2,00)=6,00\cdot(2,00)^{2}-5,00=6,00\cdot 4,00-5,00=24,00-5,00=19,00.
  • Para v_{y}: v_{y}(2,00)=-28,00\cdot(2,00)^{3}=-28,00\cdot 8,00=-224,00.
Portanto
\vec{v}(2,00)=19,00\,\hat{\imath}-224,00\,\hat{\jmath}\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 5

Avalio \vec{a}(t) e \vec{a}(2,00). Já tínhamos:
a_{x}(t)=12,00\,t,\qquad a_{y}(t)=-84,00\,t^{2}.
Substituindo t=2,00:
  • Para a_{x}: a_{x}(2,00)=12,00\cdot 2,00=24,00.
  • Para a_{y}: a_{y}(2,00)=-84,00\cdot(2,00)^{2}=-84,00\cdot 4,00=-336,00.
Logo
\vec{a}(2,00)=24,00\,\hat{\imath}-336,00\,\hat{\jmath}\quad(\mathrm{m/s^{2}}).

Passo 6

Agora calculamos o ângulo \theta entre o sentido positivo do eixo x e a reta tangente à trajetória em t=2,00\\ \mathrm{s}. Raciocínio didático:
  • A reta tangente tem direção dada pelo vetor velocidade \vec{v} naquele instante.
  • A inclinação (declive) da tangente é \dfrac{v_{y}}{v_{x}}.
  • O ângulo medido a partir do eixo x (positivo) é \theta=\arctan\!\big(\dfrac{v_{y}}{v_{x}}\big), mas atenção: o arco-tangente padrão retorna um ângulo entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}. Se v_{x} fosse negativo, teríamos que ajustar com \pi para o quadrante correto. Aqui v_{x}(2,00)=19,00>0 e v_{y}(2,00)=-224,00<0, então estamos no quarto quadrante e o resultado da \arctan já dá o ângulo correto (negativo, isto é, abaixo do eixo x).
    Cálculo:
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{v_{y}(2,00)}{v_{x}(2,00)}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{-224,00}{19,00}\right)=\arctan(-11,78947368\ldots).
Para um valor grande em módulo da tangente, o ângulo se aproxima de -\tfrac{\pi}{2} rad. Avaliando numericamente (aproximação):
\theta\approx-85,15^\circ\approx-1,486\\ \mathrm{rad}.
Interpretação em linguagem simples: a reta tangente forma um ângulo de aproximadamente 85,15^\circ abaixo do eixo positivo x (ou seja, -85,15^\circ contado no sentido anti-horário).

Resposta

(a) \vec{r}(2,00)=6,00\,\hat{\imath}-106,00\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m};\quad \vec{v}(2,00)=19,00\,\hat{\imath}-224,00\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s};\quad \vec{a}(2,00)=24,00\,\hat{\imath}-336,00\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{m/s^{2}}
(b) \theta\approx-85,15^\circ (ou \theta\approx-1,486\\ \mathrm{rad}; isto é, a tangente está a 85,15^\circ abaixo do eixo positivo x)

Exercícios relacionados