A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por
, com
em metros e t em segundos. Calcule (a)
, (b)
e ©
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento no plano xy! A gente tem a posição da partícula dada por
, onde
está em metros e
em segundos. Vamos calcular:
(a) A posição
no instante
segundos.
(b) A velocidade
no mesmo instante.
© A aceleração
também em
segundos.
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, já que velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, e aceleração é a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a posição
no tempo
segundos. Isso significa que vamos substituir
por 2 na expressão dada:
Vamos simplificar cada componente:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a posição fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade
. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo ($ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} $).
Vamos derivar cada componente de
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a expressão para a velocidade é:
Agora, substituímos
segundos:
Para
:
Para
:
Portanto, a velocidade é:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a aceleração
. A aceleração é a segunda derivada da posição, ou seja, a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo ($ \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} $).
Vamos derivar cada componente de
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a expressão para a aceleração é:
Agora, substituímos
segundos:
Para
:
Para
:
Portanto, a aceleração é:
Resposta
(a)
metros,
(b)
metros por segundo,
©
metros por segundo ao quadrado.