A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r=(2 t^3-5 t) i+(6-7 t^4) j, com r em metros e t em segundos. Calcule (a) r, (b) v e © a em t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento no plano xy! A gente tem a posição da partícula dada por r = (2 t^3 - 5 t) i + (6 - 7 t^4) j, onde r está em metros e t em segundos. Vamos calcular:
(a) A posição r no instante t = 2 segundos.
(b) A velocidade v no mesmo instante.
© A aceleração a também em t = 2 segundos.
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, já que velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, e aceleração é a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a posição r no tempo t = 2 segundos. Isso significa que vamos substituir t por 2 na expressão dada:
r = (2 (2)^3 - 5 (2)) i + (6 - 7 (2)^4) j
Vamos simplificar cada componente:
Para a componente i:
2 (2)^3 = 2 times 8 = 16
16 - 5 times 2 = 16 - 10 = 6
Para a componente j:
2^4 = 16
7 times 16 = 112
6 - 112 = -106
Então, a posição fica:
r = 6, i - 106, j metros

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade v. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo ($ \mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} $).
Vamos derivar cada componente de v = drdt :
Para a componente r:
i
Para a componente ddt (2 t^3 - 5 t) = 6 t^2 - 5 :
j
Então, a expressão para a velocidade é:
ddt (6 - 7 t^4) = -28 t^3
Agora, substituímos v = (6 t^2 - 5), i - 28 t^3, j segundos:
Para t = 2:
i
Para 6 (2)^2 - 5 = 6 times 4 - 5 = 24 - 5 = 19 :
j
Portanto, a velocidade é:
-28 (2)^3 = -28 times 8 = -224

Passo 4

Por fim, vamos calcular a aceleração a. A aceleração é a segunda derivada da posição, ou seja, a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo ($ \mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} $).
Vamos derivar cada componente de a = dvdt :
Para a componente v:
i
Para a componente ddt (6 t^2 - 5) = 12 t :
j
Então, a expressão para a aceleração é:
ddt (-28 t^3) = -84 t^2
Agora, substituímos a = 12 t, i - 84 t^2, j segundos:
Para t = 2:
i
Para 12 times 2 = 24 :
j
Portanto, a aceleração é:
-84 times (2)^2 = -84 times 4 = -336

Resposta

(a) r = 6, i - 106, j metros,
(b) v = 19, i - 224, j metros por segundo,
© a = 24, i - 336, j metros por segundo ao quadrado.

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