A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo dos x é dada por:
x=9.75 t+1.50 t^3. onde t é dado em segundos. Considere o intervalo de t=2 s e t=3 sec calcule:
A velocidade instantânea em t=3 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula em movimento ao longo do eixo dos x dada por x = 9.75, t + 1.50, t^3, onde t é o tempo em segundos. A tarefa é calcular a velocidade instantânea dessa partícula em t = 3 segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo diferencial, especificamente como encontrar a derivada da função posição para obter a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa que a velocidade é a derivada da função posição em relação a t. Então, se temos x(t), a velocidade v(t) é dada por:
v(t) = dxdt

Passo 3

Vamos calcular a derivada de x(t) = 9.75, t + 1.50, t^3. Usando as regras básicas de derivação:
  1. A derivada de 9.75, t em relação a t é 9.75.
  2. A derivada de 1.50, t^3 em relação a t é 3 times 1.50, t^2 = 4.50, t^2.
Então, a função velocidade fica:
v(t) = 9.75 + 4.50, t^2

Passo 4

Agora, vamos substituir t = 3, segundos na função velocidade para encontrar a velocidade instantânea nesse instante.
v(3) = 9.75 + 4.50 times (3)^2
Calculando o t^2:
(3)^2 = 9
Então:
v(3) = 9.75 + 4.50 times 9 = 9.75 + 40.50 = 50.25, m/s

Resposta

A velocidade instantânea da partícula em t = 3 segundos é de 50,25 metros por segundo.

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