A posição de uma partícula em movimento ao longo do eixo x varia no tempo de acordo com a expressão
x(t)=3 t^2
em que x está em metros e t em segundos. (a) Calcule a sua velocidade média mantendo o instante inicial ti=3,000 s e considerando tf=3,100 s, tf=3,010 s, e tf=3,001 s. (b) Qual é o valor da velocidade instantânea em t=3,000 s ?

Passo 1

Beleza, aqui o que temos: a posição da partícula é dada por
x(t)=3,t^2,, x em m, t em s
Isso é assunto de cinemática (movimento retilíneo), e a gente vai precisar de duas ideias:
1) velocidade média entre dois instantes:
vrm med=De
  1. velocidade instantânea num instante: é a derivada da posição, isto é
v(t)=dxdt;
O exercício pede em (a) calcular a velocidade média saindo de s para três valores de , e em (b) achar a velocidade instantânea em s.

Passo 2

Calcular x(3,000)=3,(3,000)^2,, x(3,100)=3,(3,100)^2, para vrm med=3,tf^2-3,(3,000)^2tf-3,000 =3,tf^2-3,000^2tf-3,000 =3,(tf+3,000), s e vrm med=3,(3,100+3,000)=3cdot6,100=18,300 rm m/s, s.
  1. Primeiro, avalia nos dois instantes:
    2) Mas dá para simplificar antes:
    $$v_{\rm med}=\frac{3,t_f2-3,(3{,}000)2}{t_f-3{,}000}
               =3\,\frac{t_f^2-3{,}000^2}{t_f-3{,}000}  
               =3\,(t_f+3{,}000)\,. $$  
    
  2. Substitui :

Passo 3

Mesma fórmula para vrm med=3,(3,010+3,000)=3cdot6,010=18,030 rm m/s, s:

Passo 4

E para vrm med=3,(3,001+3,000)=3cdot6,001=18,003 rm m/s, s:

Passo 5

Agora a velocidade instantânea em v(t)=dxdt=6t; s. A gente tira a derivada de v(3,000)=6cdot3,000=18,000 rm m/s, :

Em s fica

Resposta

(a) Velocidades médias:
  • Entre 3{,}000 s e 3{,}100 s: .
  • Entre 3{,}000 s e 3{,}010 s: .
  • Entre 3{,}000 s e 3{,}001 s: .
(b) Velocidade instantânea em 3{,}000 s: .

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