Um mol de um gás ideal, com
sofre uma expansão de
bar e
para P2 = 1 bar, através das seguintes trajetórias:
a. Volume constante;
Admitindo a reversibilidade mecânica, calcule
e
. Esboce cada trajetória em um único diagrama PV.
a. Volume constante;
Admitindo a reversibilidade mecânica, calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos 1 mol de um gás ideal com capacidades térmicas específicas dadas: $ C_p = \frac{7}{2}R $ e $ C_v = \frac{5}{2}R $. Esse gás passa por uma expansão de $ P_1 = 8 $ bar e $ T_1 = 600 $ K para $ P_2 = 1 $ bar, mantendo o volume constante. Nosso objetivo é calcular o trabalho ($ W
Q
\Delta H
\Delta U $). Além disso, vamos esboçar essa trajetória em um diagrama $ PV $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica relacionados a processos a volume constante, leis dos gases ideais e as relações entre $ C_p $ e $ C_v $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um processo a volume constante. Em um processo a volume constante, o volume do sistema não muda durante a transformação. Isso implica que não há trabalho feito pelo sistema, já que o trabalho $ W $ em termodinâmica é dado por:
Mas se $ dV = 0 $, então $ W = 0 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variação da energia interna ($ \Delta U $). Para um gás ideal, a variação da energia interna depende apenas da variação de temperatura e é dada por:
Onde:
- $ n = 1 $ mol
- $ C_v = \frac{5}{2}R $
- $ \Delta T = T_2 - T_1 $
Mas primeiro, precisamos encontrar $ T_2 $, a temperatura final.
Passo 4
Como o processo é a volume constante, $ V_1 = V_2 $. Pela lei dos gases ideais:
Como $ V_1 = V_2 $, podemos relacionar as temperaturas:
Passo 5
Agora que temos $ \Delta T = T_2 - T_1 = 75 , K - 600 , K = -525 , K $, podemos calcular $ \Delta U $:
Usando $ R = 8,314 , J/mol·K $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a variação da entalpia ($ \Delta H $). A entalpia é dada por:
Substituindo os valores:
Convertendo para joules:
Passo 7
Agora, vamos calcular o calor $ Q $. Usando a primeira lei da termodinâmica:
Sabemos que $ W = 0 $ (porque o volume não mudou), então:
Passo 8
Por fim, vamos esboçar a trajetória no diagrama $ PV $. Como o volume é constante, o processo será representado por uma linha vertical indo de $ P_1 = 8 $ bar para $ P_2 = 1 $ bar no gráfico $ P $ versus $ V $.
Resposta
Para a expansão a volume constante:
- Trabalho realizado, $ W = 0 $ kJ
- Calor trocado, $ Q = -10,912 $ kJ
- Variação da entalpia, $ \Delta H = -15,278 $ kJ
- Variação da energia interna, $ \Delta U = -10,912 $ kJ
O processo é representado por uma linha vertical decrescente no diagrama $ PV $.