(a) Utilizando-se os “melhores” valores das constantes fundamentais, como encontradas no Apêndice B, mostre que a energia E de um fóton é relacionada com o seu comprimento de onda \lambda por
E=\frac{1240 \mathrm{eV} \cdot \mathrm{~nm}}{\lambda} .
Este resultado pode ser útil na solução de vários problemas. (b) A luz laranja de uma lámpada de sódio de estrada tem um comprimento de onda de 589 nm . Quanta energia possui um fóton individual de tal lâmpada?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que a energia E de um fóton está relacionada com seu comprimento de onda \lambda pela fórmula
E=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{\lambda}.
  1. Calcular a energia de um fóton cuja luz tem comprimento de onda \lambda=589\\ \mathrm{nm}.
Informações relevantes fornecidas ou usuais (valores “melhores” das constantes fundamentais — Apêndice B):
h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\cdot s^{-1}},
e=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J\cdot eV^{-1}}.
Não vou resolver nada ainda; só listei o que é pedido e os dados que vamos usar.

Passo 2

Vamos começar pela relação básica entre energia e frequência de um fóton. A fórmula de Planck diz que a energia E de um fóton é
E=h\nu,
onde h é a constante de Planck (em \mathrm{J\cdot s}) e \nu é a frequência (em \mathrm{s^{-1}}). Explico: cada fóton transporta uma “mínima” quantidade de energia proporcional à sua frequência — essa é a ideia por trás de E=h\nu.

Passo 3

Relacionamos frequência \nu e comprimento de onda \lambda usando a velocidade da luz:
c=\lambda\nu \quad\Rightarrow\quad \nu=\frac{c}{\lambda}.
Substituindo em E=h\nu obtemos a forma em função de \lambda:
E=\frac{hc}{\lambda}.
Aqui E fica em joules se h está em \mathrm{J\cdot s}, c em \mathrm{m\cdot s^{-1}} e \lambda em \mathrm{m}.

Passo 4

Queremos a expressão numa forma prática em \mathrm{eV} quando \lambda estiver em \mathrm{nm}. Primeiro calculemos o produto hc (em unidades SI: \mathrm{J\cdot m}):
hc=(6,62607015\times10^{-34})\cdot(2,99792458\times10^{8}) =1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Expliquei: multipliquei os valores de h e c com atenção às potências de 10; o resultado tem unidade \mathrm{J\cdot m} porque \mathrm{J\cdot s}\times\mathrm{m\cdot s^{-1}}=\mathrm{J\cdot m}.

Passo 5

Agora convertemos essa energia por comprimento de onda para \mathrm{eV}. Para isso dividimos por e (energia de 1\\ \mathrm{eV} em joules):
\frac{hc}{e}=\frac{1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}}{1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J\cdot eV^{-1}}} =1,239841984\times10^{-6}\\ \mathrm{eV\cdot m}.
Interpretação: \dfrac{hc}{e} é o fator que dá energia em \mathrm{eV} quando \lambda é dada em metros.

Passo 6

Queremos \lambda em \mathrm{nm}. Como 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}, multiplicamos por 10^{9} para passar de \mathrm{eV\cdot m} para \mathrm{eV\cdot nm}:
1,239841984\times10^{-6}\\ \mathrm{eV\cdot m}\times10^{9}=1,239,841,984\times10^{0}\\ \mathrm{eV\cdot nm}=1239,841984\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
Arredondando com os algarismos significativos práticos obtemos o fator convencionado
\boxed{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}.
Portanto a relação fica
E=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{\lambda},
com \lambda em \mathrm{nm} e E em \mathrm{eV}. Isso responde (a) e é muito útil porque evita ficar mexendo com joules e potências de 10 na prova.

Passo 7

Agora o item (b): aplicar a fórmula com \lambda=589\\ \mathrm{nm}. Usando
E=\frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{\lambda},
temos
E=\frac{1240}{589}\\ \mathrm{eV}\approx2,104\\ \mathrm{eV}.
Se quiser em joules, convertemos usando 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
E(\mathrm{J})=2,104\\ \mathrm{eV}\times1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J\cdot eV^{-1}} \approx3,37\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Feito: calculamos tanto em \mathrm{eV} quanto em \mathrm{J}. Mantenha calma — é só substituir na fórmula e seguir as conversões de unidade.

Resposta

(a) E=\dfrac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{\lambda}.
(b) E\approx2,10\\ \mathrm{eV}=3,37\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

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