A posição de uma pedra que cai do alto de um rochedo, a partir do repouso, é dada por h=-5 t^2, onde a altura h é dada em metros e o tempo t em segundos. Calcule a velocidade média < v> e a velocidade instantânea v desta pedra: (b) utilizando os conceitos de cálculo diferencial e;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a altura da pedra em função do tempo é
h(t) = -5,t^2
com lang<= vrang<= = h(t2)-h(t1)t2-t1 em metros e v(t) = dhdt, em segundos. A matéria aqui é cálculo diferencial: vamos precisar do conceito de velocidade média
e do conceito de derivada para achar a velocidade instantânea

Passo 2

Começando pela velocidade média, escolhemos dois instantes genéricos lang<= vrang<= = h(t2)-h(t1)t2-t1 = -5,t2^2 - l(-5,t1^2r)t2-t1 = -5,(t2^2 - t1^2)t2-t1 e lang<= vrang<= = -5;(t2 - t1)(t2 + t1)t2 - t1 = -5,(t2 + t1) . Então
A diferença de quadrados se fatoriza: . Então

Passo 3

Uma outra forma comum é usar lang<= vrang<= = -5l((t + De e . Aí
Esse é o valor médio da velocidade no intervalo .

Passo 4

Agora, para achar a velocidade instantânea a gente faz a derivada de v(t) = dhdt = ddtl(-5,t^2r) = -5 cdot 2t = -10,t .
Isso é o valor da velocidade no exato instante , obtido pelo limite .

Resposta

Velocidade média entre lang<= vrang<= = -5,(t2 + t1), e lang<= vrang<= = -5,(2t + De:
v(t) = -10,t
ou, entre e :
Velocidade instantânea em :

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