Em t=0 o átomo de hidrogênio encontra-se na autofunção
psi(r, 0)=1raiz10(2|100rang<=+|210rang<=+raiz2|211rang<=+raiz3|21-1rang<=),
na base |n l mrang<=. Ignore o spin.
Suponha que uma medida é feita que mostra que l=1 e m=+1. Descreva a função de onda imediatamente após essa medida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de onda de um átomo de hidrogênio no tempo $ t = 0 $, escrita como uma combinação de autofunções na base $ |n, l, m\rangle $. A parada é que, após uma medida que determina que $ l = 1 $ e $ m = +1 $, a gente precisa descobrir como é a função de onda desse átomo imediatamente depois dessa medida.
Conteúdo da matéria: Mecânica Quântica, especificamente sobre como as medidas afetam a função de onda (princípio de colapso).
O que vamos precisar: Saber como identificar quais componentes da função de onda inicial correspondem aos valores medidos ($ l = 1 $ e $ m = +1 $) e como normalizar a função resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função de onda inicial:
psi(r, 0) = 1raiz10 ( 2|100rang<= + |210rang<= + raiz2,|211rang<= + raiz3,|21-1rang<= )
Cada termo representa um estado quântico diferente do átomo. Precisamos identificar quais desses estados têm $ l = 1 $ e $ m = +1 $:
  • $ |100\rangle $: $ l = 0 $, $ m = 0 $ → Não atende
  • $ |210\rangle $: $ l = 1 $, $ m = 0 $ → Não atende
  • $ |211\rangle $: $ l = 1 $, $ m = +1 $ → Atende
  • $ |21-1\rangle $: $ l = 1 $, $ m = -1 $ → Não atende
Então, só o estado $ |211\rangle $ atende aos critérios da medida.

Passo 3

Agora que identificamos que apenas $ |211\rangle $ é compatível com $ l = 1 $ e $ m = +1 $, precisamos ajustar a função de onda para refletir isso. Basicamente, a função de onda “colapsa” para esse estado específico após a medida.
Então, a nova função de onda será proporcional a $ |211\rangle $. Mais formalmente:
|211rang<=
Onde $ C $ é uma constante que vamos determinar.

Passo 4

Para encontrar a constante $ C $, precisamos normalizar a nova função de onda, ou seja, garantir que a probabilidade total seja 1. Vamos calcular a probabilidade associada ao estado $ |211\rangle $ na função de onda inicial.
O coeficiente de $ |211\rangle $ na função inicial é $ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}} $. A probabilidade de colapsar para esse estado é o quadrado desse coeficiente:
C
Como a medida já determinou que o sistema está nesse estado, a função de onda após a medida deve ser normalizada. Isso significa que $ C $ deve ser tal que:
|211rang<=
Como $ \langle 211|211 \rangle = 1 $, temos $ |C|^2 = 1 $, assim $ C = 1 $ (podemos ignorar o sinal, já que o estado é definido até um fator de fase).

Resposta

Após a medida que determina $ l = 1 $ e $ m = +1 $, a função de onda imediatamente após a medida é
l = 1

Exercícios relacionados