Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes por meio do desenvolvimento de Laplace.
F=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 4 \\\\ 7 & -6 & 2 \\\\ 3 & 0 & -12\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz F abaixo:
F=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 4\\[4pt] 7 & -6 & 2\\[4pt] 3 & 0 & -12 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A matriz F é 3\times3.
  • Deve-se usar o desenvolvimento de Laplace (expansão) para calcular \det(F).
  • Os elementos da matriz estão todos explícitos na forma acima.]

Passo 2

O que é o desenvolvimento de Laplace (fórmula que vou usar)?
  • Para uma matriz n\times n a expansão pela linha i é
\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j e A_{ij} é a submatriz obtida removendo a linha i e a coluna j.
  • De modo análogo, a expansão por uma coluna j é
\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A_{ij}).
  • Para uma matriz 2\times2 a fórmula do determinante (que usaremos para os menores) é
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Explicando em palavras: cada termo da soma é o elemento escolhido vezes o determinante do menor correspondente, multiplicado por um sinal (-1)^{i+j} que alterna conforme a posição.]

Passo 3

Escolha da linha/coluna para expandir (estratégia prática):
  • Observando F, a segunda coluna tem dois zeros: a_{12}=0 e a_{32}=0, e apenas a_{22}=-6 é não nulo. Isso simplifica muito a conta ao expandir pela coluna 2, porque só teremos um termo não nulo na soma.
  • Então vou usar a expansão por coluna j=2.

Passo 4

Escrevendo a expansão por coluna 2:
\det(F)=\sum_{i=1}^{3}(-1)^{i+2}a_{i2}\det(F_{i2}).
Como a_{12}=0 e a_{32}=0, sobram apenas o termo com i=2:
\det(F)=(-1)^{2+2}\,a_{22}\,\det(F_{22}).

Passo 5

Substituindo a_{22}=-6 e calculando o sinal:
  • O fator de sinal é (-1)^{2+2}=(-1)^{4}=1.
  • Assim
\det(F)=1\cdot(-6)\cdot\det(F_{22}) = (-6)\det(F_{22}).
  • Aqui F_{22} é a submatriz obtida eliminando a linha 2 e a coluna 2. Retirando a linha 2 e a coluna 2 da matriz F obtemos
F_{22}=\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt] 3 & -12\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular o determinante do menor F_{22} usando a fórmula 2\times2:
\det(F_{22}) = (-1)\cdot(-12) - 4\cdot 3.
Agora faço as contas passo a passo:
(-1)\cdot(-12)=12, \qquad 4\cdot 3=12,
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\det(F_{22})=12-12=0.

Passo 7

Voltar para a expressão de \det(F):
\det(F)=(-6)\cdot\det(F_{22}) = (-6)\cdot 0 = 0.
Interpretação rápida: determinant igual a zero significa que a matriz é singular (não inversível). Bom trabalho por ter chegado até aqui — essa propriedade (ter duas entradas zero numa coluna levando a um menor com determinante zero) é bem comum em exercícios rápidos de prova.

Resposta

\det(F)=0

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