Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes por meio do desenvolvimento de Laplace. F=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 4 \\\\ 7 & -6 & 2 \\\\ 3 & 0 & -12\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz F abaixo:
Para uma matriz 2\times2 a fórmula do determinante (que usaremos para os menores) é
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Explicando em palavras: cada termo da soma é o elemento escolhido vezes o determinante do menor correspondente, multiplicado por um sinal (-1)^{i+j} que alterna conforme a posição.]
Passo 3
Escolha da linha/coluna para expandir (estratégia prática):
Observando F, a segunda coluna tem dois zeros: a_{12}=0 e a_{32}=0, e apenas a_{22}=-6 é não nulo. Isso simplifica muito a conta ao expandir pela coluna 2, porque só teremos um termo não nulo na soma.
Calcular o determinante do menor F_{22} usando a fórmula 2\times2:
\det(F_{22}) = (-1)\cdot(-12) - 4\cdot 3.
Agora faço as contas passo a passo:
(-1)\cdot(-12)=12, \qquad 4\cdot 3=12,
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\det(F_{22})=12-12=0.
Passo 7
Voltar para a expressão de \det(F):
\det(F)=(-6)\cdot\det(F_{22}) = (-6)\cdot 0 = 0.
Interpretação rápida: determinant igual a zero significa que a matriz é singular (não inversível). Bom trabalho por ter chegado até aqui — essa propriedade (ter duas entradas zero numa coluna levando a um menor com determinante zero) é bem comum em exercícios rápidos de prova.