Se possível, determine a soma das séries
$ \sum_{n=2} \left[ \frac{2^{2n} + 3{2n}}{36n} \right]$

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a soma da série:
sumn=2 [ 2^2n + 3^2n36^n ]
Vamos usar conceitos de progressões geométricas e somas infinitas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma para facilitar nosso trabalho. Observamos que:
2^2n = (2^2)^n = 4^n 3^2n = (3^2)^n = 9^n 36^n = (6^2)^n = 6^2n = (6^n)^2 = 36^n
Então, a expressão original fica:
4^n + 9^n36^n

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
4^n36^n + 9^n36^n = (436)^n + (936)^n
Simplificando as frações:
(19)^n + (14)^n

Passo 4

Agora, nossa série fica:
sumn=2^infty ( (19)^n + (14)^n )
Podemos separar essa soma em duas séries distintas:
sumn=2^infty (19)^n + sumn=2^infty (14)^n

Passo 5

Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
sumn=0^infty r^n = 11 - r, para |r| < 1
Mas nossa soma começa em $ n = 2 $, então precisamos ajustar a fórmula. A soma de $ n = 2 $ até o infinito é:
n = 2

Passo 6

Aplicando isso às nossas séries:
Para $ \left(\frac{1}{9}\right)^n $:
(19)^n
Para $ \left(\frac{1}{4}\right)^n $:
sumn=2^infty (19)^n = 11 - 19 - 1 - 19 = 98 - 1 - 19

Passo 7

Calculando cada parte:
Para a primeira soma:
98 - 1 = 98 - 88 = 18 18 - 19 = 9 - 872 = 172
Para a segunda soma:
43 - 1 = 43 - 33 = 13 13 - 14 = 4 - 312 = 112

Passo 8

Agora, somamos os resultados das duas séries:
172 + 112 = 172 + 672 = 772

Resposta

A soma da série é $ \frac{7}{72} $.

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