Se possível, determine a soma das séries
$ \sum_{n=2} \left[ \frac{2^{2n} + 3{2n}}{36n} \right]$
$ \sum_{n=2} \left[ \frac{2^{2n} + 3{2n}}{36n} \right]$
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a soma da série:
Vamos usar conceitos de progressões geométricas e somas infinitas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da soma para facilitar nosso trabalho. Observamos que:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Simplificando as frações:
Passo 4
Agora, nossa série fica:
Podemos separar essa soma em duas séries distintas:
Passo 5
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Mas nossa soma começa em $ n = 2 $, então precisamos ajustar a fórmula. A soma de $ n = 2 $ até o infinito é:
Passo 6
Aplicando isso às nossas séries:
Para $ \left(\frac{1}{9}\right)^n $:
Para $ \left(\frac{1}{4}\right)^n $:
Passo 7
Calculando cada parte:
Para a primeira soma:
Para a segunda soma:
Passo 8
Agora, somamos os resultados das duas séries:
Resposta
A soma da série é $ \frac{7}{72} $.