Usando o somatório telescópico mostre que
sumn=1 2n^2 + n = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a soma infinita sumn=1^infty 2n^2 + n resulta em 2. A matéria que vamos usar aqui é somatório telescópico, que é uma técnica matemática para simplificar somas que “se anulam” em partes. Vamos precisar fatorar expressões e manipular frações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador n^2 + n. Podemos fatorar esse termo:
n^2 + n = n(n + 1)
Então, a expressão original fica:
2n^2 + n = 2n(n + 1)

Passo 3

Agora, vamos quebrar essa fração em duas partes usando frações parciais. Queremos achar A e B tais que:
2n(n + 1) = An + Bn + 1
Multiplicando ambos os lados por n(n + 1), temos:
2 = A(n + 1) + Bn
Para que essa igualdade valha para todo n, podemos escolher valores de n que facilitem a resolução. Por exemplo, se n = -1:
2 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -2
E se n = 0:
2 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 2
Então, temos:
2n(n + 1) = 2n - 2n + 1

Passo 4

Agora, substituímos de volta no somatório:
sumn=1^infty 2n(n + 1) = sumn=1^infty ( 2n - 2n + 1 )
Esse é um somatório telescópico, o que significa que a maioria dos termos internos vai se cancelar. Vamos ver alguns termos para entender:
( 21 - 22 ) + ( 22 - 23 ) + ( 23 - 24 ) + cdots
Perceba que -22 cancela com +22, -23 cancela com +23, e assim por diante. O que sobra é apenas o primeiro termo da série:
21 = 2

Resposta

Portanto, sumn=1^infty 2n^2 + n = 2.

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