Usando o somatório telescópico mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a soma infinita
resulta em 2. A matéria que vamos usar aqui é somatório telescópico, que é uma técnica matemática para simplificar somas que “se anulam” em partes. Vamos precisar fatorar expressões e manipular frações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Podemos fatorar esse termo:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos quebrar essa fração em duas partes usando frações parciais. Queremos achar
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para que essa igualdade valha para todo
, podemos escolher valores de
que facilitem a resolução. Por exemplo, se
:
E se
:
Então, temos:
Passo 4
Agora, substituímos de volta no somatório:
Esse é um somatório telescópico, o que significa que a maioria dos termos internos vai se cancelar. Vamos ver alguns termos para entender:
Perceba que
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. O que sobra é apenas o primeiro termo da série:
Resposta
Portanto,
.