(a) pi integral0^pi / 2 cos ^2(x) d x
(b) pi integral0^1(y^4-y^8) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais definidas multiplicadas por π: (a) π∫₀^{π/2}cos²(x)dx e (b) π∫₀¹(y⁴−y⁸)dy. Vamos usar identidade trigonométrica e regra de potência para resolver.

Passo 2

Para a parte (a), lembramos que cos²(x) pode ser escrito como (1+cos(2x))/2. Logo,
integral0^pi/2cos^2(x),dx=integral0^pi/21+cos(2x)2,dx=12l[x+sin(2x)2r]0^pi/2

Passo 3

Avaliando em 0 e π/2, o termo com sin(2x) some, restando 12(pi/2)=pi4. Multiplicando por π dá pi^24.

Passo 4

Para a parte (b), aplicamos a regra de potência:
integral0^1(y^4 - y^8),dy=l[y^55-y^99r]0^1=15-19=445

Passo 5

Multiplicando esse resultado por π obtemos 4pi45.

Resposta

(a) pi^24, (b) 4pi45

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