Seja
.
a) Se
então mostre que
é uma matriz invertível.
b) Em geral, se
para algum
, então mostre que a matriz
é invertível.
c) Suponha que
. Então mostre que a matriz
é invertível.
a) Se
b) Em geral, se
c) Suponha que
Passo 1
O enunciado trabalha com a noção de matriz invertível e usa dois fatos clássicos de álgebra de matrizes: primeiro, que se
é nilpotente (isto é,
para algum
), então se consegue construir explicitamente o inverso de
via uma soma finita de potências de
; segundo, que se uma matriz satisfaz um polinômio com termo constante não nulo, dá para isolar um produto que seja igual a
e daí exibir um inverso. Vamos precisar do conceito de inverso: uma matriz
é inversa de
se
.
Passo 2
(a) Suponha
. Considere a matriz
Então
pois
. Similarmente
Logo
é inversa de
, provando que
é invertível com
Passo 3
(b) Agora suponha
para algum
. Defina
Então
pois
. Do mesmo modo
. Portanto
e
é invertível.
Passo 4
(c) Suponha agora que
Reescreva como
e fatorando
à direita ou à esquerda:
Isso mostra que
é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de
, logo é o inverso de
. Assim
é invertível, com
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)