Seja A in Mn.
a) Se A^3=0 então mostre que I-A é uma matriz invertível.
b) Em geral, se A^n=0 para algum n in N, então mostre que a matriz I-A é invertível.
c) Suponha que A^3-A-I=0. Então mostre que a matriz A é invertível.

Passo 1

O enunciado trabalha com a noção de matriz invertível e usa dois fatos clássicos de álgebra de matrizes: primeiro, que se A é nilpotente (isto é, A^n=0 para algum n), então se consegue construir explicitamente o inverso de I-A via uma soma finita de potências de A; segundo, que se uma matriz satisfaz um polinômio com termo constante não nulo, dá para isolar um produto que seja igual a I e daí exibir um inverso. Vamos precisar do conceito de inverso: uma matriz B é inversa de X se XB=BX=I.

Passo 2

(a) Suponha A^3=0. Considere a matriz
B = I + A + A^2
Então
(I - A),B = I - A + A - A^2 + A^2 - A^3 = I - A^3 = I,
pois A^3=0. Similarmente
B,(I - A) = I - A^3 = I
Logo B é inversa de I-A, provando que I-A é invertível com
(I-A)^-1 = I + A + A^2

Passo 3

(b) Agora suponha A^n=0 para algum ninN. Defina
B = sumk=0^n-1 A^k = I + A + A^2 + cdots + A^n-1
Então
(I - A),B = sumk=0^n-1(A^k - A^k+1) = I - A^n = I,
pois A^n=0. Do mesmo modo B,(I-A)=I. Portanto
(I-A)^-1 = sumk=0^n-1 A^k,
e I-A é invertível.

Passo 4

(c) Suponha agora que
A^3 - A - I = 0
Reescreva como
A^3 - A = I,
e fatorando A à direita ou à esquerda:
A,(A^2 - I) = I, (A^2 - I),A = I
Isso mostra que A^2 - I é simultaneamente inversa à direita e à esquerda de A, logo é o inverso de A. Assim A é invertível, com
A^-1 = A^2 - I

Resposta

(a) (I - A)^-1 = I + A + A^2.
(b) (I - A)^-1 = sumk=0^n-1 A^k.
(c) A^-1 = A^2 - I.

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