Dê, se possível, exemplos de conjuntos pedidos abaixo. Caso seja impossível, indique o motivo.
Uma base do R^3 que contenha o conjunto (2,2,-2) ;(-3,-3,3) .

Passo 1

O enunciado pede uma base de R^3 que contenha o conjunto
(2,2,-2),,(-3,-3,3).
Em álgebra linear, para estender um conjunto a uma base de R^3 é preciso que esse conjunto seja linearmente independente; só então podemos completar com vetores adicionais até obter 3 vetores.

Passo 2

Verifiquemos se os dois vetores são linearmente independentes. Seja
v1=(2,2,-2), v2=(-3,-3,3)
Procuramos k tal que v2 = k,v1. Da primeira componente,
2k = -3 implies k = -tfrac32
Verificando na terceira componente:
-2k = -2l(-tfrac32r) = 3,
que coincide com a terceira componente de v2. Logo
v2 = -tfrac32,v1,
ou seja, v1 e v2 são linearmente dependentes.
Uma base de R^3 não pode conter vetores linearmente dependentes, pois toda base deve ser um conjunto de vetores linearmente independentes.

Resposta

Não é possível: os vetores (2,2,-2) e (-3,-3,3) são linearmente dependentes, portanto nenhuma base de R^3 pode contê-los simultaneamente.

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