Q 12 Sejam
e
e
e
subespaços de
. Determine:
(a)
;
(b) Uma base para cada subespaço
e
;
(c)
.
(a)
(b) Uma base para cada subespaço
(c)
Passo 1
O enunciado define os subespaços de
Queremos
(a) ,
(b) uma base para ,
e
,
(c) .
O conteúdo é teoria de subespaços, bases e dimensão em espaços vetoriais.
(a)
(b) uma base para
(c)
O conteúdo é teoria de subespaços, bases e dimensão em espaços vetoriais.
Passo 2
Caracterizamos
. As condições
e
dão
logo toda matriz em
tem a forma
Esses dois vetores são linearmente independentes, então
uma base de é
uma base de
e
.
Passo 3
Caracterizamos
. As condições
e
dão
logo toda matriz em
é
Esses dois vetores são independentes, então
uma base de é
uma base de
e
.
Passo 4
Para achar
, igualamos uma matriz genérica de
,
, a uma de
,
. As igualdades de entradas dão
Logo as matrizes comuns têm a forma
Isto mostra que
com
.
Passo 5
Usamos o teorema da dimensão para soma de subespaços:
Resposta
(a)
(b) Bases:
(c)
.