Q 12 Sejam W1=(lla & b c & d) ; a+d=0 e b+c=0 e W2=(lla & b c & d) ; a+c=0 e b+d=0 subespaços de M2(R). Determine:
(a) W1 cap W2;
(b) Uma base para cada subespaço W1, W2 e W1 cap W2;
(c) dim(W1+W2).

Passo 1

O enunciado define os subespaços de
Queremos
(a) ,
(b) uma base para , e ,
(c) .
O conteúdo é teoria de subespaços, bases e dimensão em espaços vetoriais.

Passo 2

Caracterizamos W1. As condições a+d=0 e b+c=0 dão
d=-a, c=-b,
logo toda matriz em W1 tem a forma
a&b-b&-a = a1&00&-1 + b0&1-1&0
Esses dois vetores são linearmente independentes, então
uma base de W1 é
E1=1&00&-1, E2=0&1-1&0,
e dim(W1)=2.

Passo 3

Caracterizamos W2. As condições a+c=0 e b+d=0 dão
c=-a, d=-b,
logo toda matriz em W2 é
a&b-a&-b = a1&0-1&0 + b0&10&-1
Esses dois vetores são independentes, então
uma base de W2 é
F1=1&0-1&0, F2=0&10&-1,
e dim(W2)=2.

Passo 4

Para achar W1cap W2, igualamos uma matriz genérica de W1,
l[a&b-b&-ar], a uma de W2,
l[c&d-c&-dr]. As igualdades de entradas dão
a=c, b=d, -b=-c, -a=-d ;Longrightarrow; a=b
Logo as matrizes comuns têm a forma
a&a-a&-a = a1&1-1&-1
Isto mostra que
W1cap W2=spanl1&1-1&-1r,
com dim(W1cap W2)=1.

Passo 5

Usamos o teorema da dimensão para soma de subespaços:
dim(W1+W2) =dim(W1)+dim(W2)-dim(W1cap W2) =2+2-1=3

Resposta

(a)
W1cap W2 =l,a1&1-1&-1;;ainRr
(b) Bases:
Base de W1:; l1&00&-1,;0&1-1&0r,
Base de W2:; l1&0-1&0,;0&10&-1r,
Base de W1cap W2:; l1&1-1&-1r
(c) dim(W1+W2)=3.

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