Dê, se possível, exemplos de conjuntos pedidos abaixo. Caso seja impossível, indique o motivo.
Uma base do contendo os vetores ;
Passo 1
O enunciado pede uma base de que já contenha os vetores e . Em teoria de espaços vetoriais, uma base de deve ter três vetores linearmente independentes que geram todo . Aqui precisamos então verificar se os dois vetores dados são independentes e, em caso afirmativo, completá-los com um terceiro vetor fora do subespaço por eles gerado.
Passo 2
Verificamos se e são proporcionais. Se existisse tal que
teríamos
mas implica , o que não coincide com nem com obtido em outras equações. Logo eles não são múltiplos um do outro e, portanto, são linearmente independentes.
Passo 3
Como temos dois vetores linearmente independentes em , seu espaço gerado tem dimensão 2. Para formar uma base de , precisamos de mais um vetor que não pertença a esse plano, ou seja, que não seja combinação linear dos dois.
Passo 4
Escolhemos, por exemplo, o vetor
Isso gera o sistema
Das duas primeiras equações vem , ou seja , . Substituindo na terceira obtém-se , contradição. Portanto não está no plano gerado pelos dois vetores dados.
Passo 5
Concluímos que
(2,4,-6),;(-1,1,-3),;(1,0,0)
é um conjunto de três vetores linearmente independentes em R^3 e, assim, forma uma base.
Resposta
(2,4,-6),;(-1,1,-3),;(1,0,0) é uma base de R^3 que contém os vetores pedidos.