Dê, se possível, exemplos de conjuntos pedidos abaixo. Caso seja impossível, indique o motivo.
Uma base do R^3 contendo os vetores (2,4,-6) ;(-1,1,-3) ;

Passo 1

O enunciado pede uma base de R^3 que já contenha os vetores (2,4,-6) e (-1,1,-3). Em teoria de espaços vetoriais, uma base de R^3 deve ter três vetores linearmente independentes que geram todo R^3. Aqui precisamos então verificar se os dois vetores dados são independentes e, em caso afirmativo, completá-los com um terceiro vetor fora do subespaço por eles gerado.

Passo 2

Verificamos se (2,4,-6) e (-1,1,-3) são proporcionais. Se existisse lambda tal que
(2,4,-6)=lambda,(-1,1,-3),
teríamos
2=-lambda, 4=lambda, -6=-3lambda,
mas -lambda=4 implica lambda=-4, o que não coincide com lambda=4 nem com lambda=2 obtido em outras equações. Logo eles não são múltiplos um do outro e, portanto, são linearmente independentes.

Passo 3

Como temos dois vetores linearmente independentes em R^3, seu espaço gerado tem dimensão 2. Para formar uma base de R^3, precisamos de mais um vetor que não pertença a esse plano, ou seja, que não seja combinação linear dos dois.

Passo 4

Escolhemos, por exemplo, o vetor
Isso gera o sistema
Das duas primeiras equações vem , ou seja , . Substituindo na terceira obtém-se , contradição. Portanto não está no plano gerado pelos dois vetores dados.

Passo 5

Concluímos que
(2,4,-6),;(-1,1,-3),;(1,0,0)
é um conjunto de três vetores linearmente independentes em R^3 e, assim, forma uma base.

Resposta

(2,4,-6),;(-1,1,-3),;(1,0,0) é uma base de R^3 que contém os vetores pedidos.

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