Um tronco de cone fabricado em pirocerâmica (
) possui seção transversal com
, onde
. A base menor se encontra em
e a maior em
. As temperaturas nas bases são
e
. A superfície lateral é isolada termicamente do meio. Determine a taxa de transferência de calor
Passo 1
Então, o enunciado diz que a gente tem um pedaço de material em formato de tronco de cone (pirocerâmica com condutividade térmica
). O diâmetro varia com a posição
segundo
, onde
. A base menor está em
e a maior em
. Nas duas faces planas as temperaturas são
(em
) e
(em
). As laterais estão isoladas, então todo o calor só flui no sentido do eixo
.
Conteúdo principal: condução de calor unidimensional em um corpo com área de seção transversal variável.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A lei de Fourier
. - Integrar essa equação levando em conta
variável.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a área da seção transversal em função de
. Como
, o raio é
.
Logo:
Logo:
Passo 3
Na esteira, em regime permanente, o fluxo de calor
é constante e obedece
Isolamos
e separamos variáveis:
Passo 4
Integramos dos limites
até
:
O lado esquerdo dá
. No direito, substituímos
:
[
T_2 - T_1
-,\frac{q_x}{k},
\int_{x_1}^{x_2}
\frac{dx}{\tfrac{\pi a2}{4},x2}
-,\frac{4,q_x}{k,\pi a^2}
\int_{x_1}{x_2}x{-2}dx.
]
\int_{x_1}{x_2}x{-2}dx.
]
Passo 5
A primitiva de
é
. Então
[
\int_{x_1}{x_2}x{-2}dx
\Bigl[-,\tfrac{1}{x}\Bigr]_{x_1}^{x_2}
-;\frac{1}{x_2} ;+;\frac{1}{x_1}
\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}.
]
Substituindo de volta:
[
T_2 - T_1
-,\frac{4,q_x}{k,\pi a^2},\Bigl(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\Bigr).
]
Isolando
:
[
q_x
-,\frac{k,\pi a^2}{4},
\frac{T_2 - T_1}{\bigl(\tfrac{1}{x_1}-\tfrac{1}{x_2}\bigr)}.
]
\frac{T_2 - T_1}{\bigl(\tfrac{1}{x_1}-\tfrac{1}{x_2}\bigr)}.
]
Como o fluxo sai da face fria (
) para a quente (
), o sinal fica negativo. Se quisermos só o valor absoluto (taxa de calor), basta inverter o sinal de
.
Passo 6
Agora, vamos aos números (tudo em SI):
-
(sem unidade) -
-
-
-
Calculando o denominador:
E o fator
:
Logo, o valor absoluto de
é
[
|q_x|
\frac{0{,}6797\times 200}{16}
\approx 2{,}12;\mathrm{W}.
]
\approx 2{,}12;\mathrm{W}.
]
Resposta
A taxa de transferência de calor ao longo do tronco de cone é aproximadamente