Um tronco de cone fabricado em pirocerâmica ( k=3,46 W / m K ) possui seção transversal com D=a x, onde a=0,25. A base menor se encontra em x1=50 mm e a maior em x2=250 mm. As temperaturas nas bases são T1=400 K e T2=600 K. A superfície lateral é isolada termicamente do meio. Determine a taxa de transferência de calor qx

Passo 1

Então, o enunciado diz que a gente tem um pedaço de material em formato de tronco de cone (pirocerâmica com condutividade térmica ). O diâmetro varia com a posição segundo , onde . A base menor está em e a maior em . Nas duas faces planas as temperaturas são (em ) e (em ). As laterais estão isoladas, então todo o calor só flui no sentido do eixo .
Conteúdo principal: condução de calor unidimensional em um corpo com área de seção transversal variável.
O que vamos precisar:
  • A lei de Fourier .
  • Integrar essa equação levando em conta variável.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a área da seção transversal em função de A(x) ;=;pi,r^2 ;=;pi,l(tfraca,x2r)^2 ;=;pi,a^24;x^2 . Como , o raio é .
Logo:

Passo 3

Na esteira, em regime permanente, o fluxo de calor qx ;=;-,k,A(x),dTdx é constante e obedece
dTdx ;=;-,qxk,A(x) Longrightarrow dT ;=;-,qxk,dxA(x)
Isolamos e separamos variáveis:

Passo 4

Integramos dos limites integralT1^T2 dT ;=; -,qxk integralx1^x2dxA(x) até T2 - T1 = -,qxk, integralx1^x2 dxtfracpi a^24,x^2 = -,4,qxk,pi a^2 integralx1^x2x^-2dx :

O lado esquerdo dá . No direito, substituímos :
[
T_2 - T_1

-,\frac{q_x}{k},
\int_{x_1}^{x_2}
\frac{dx}{\tfrac{\pi a2}{4},x2}

-,\frac{4,q_x}{k,\pi a^2}
\int_{x_1}{x_2}x{-2}dx.
]

Passo 5

A primitiva de integralx1^x2x^-2dx = l[-,tfrac1xr]x1^x2 = -;1x2 ;+;1x1 = 1x1-1x2 é T2 - T1 = -,4,qxk,pi a^2,l(1x1-1x2r) . Então
[
\int_{x_1}{x_2}x{-2}dx

\Bigl[-,\tfrac{1}{x}\Bigr]_{x_1}^{x_2}

-;\frac{1}{x_2} ;+;\frac{1}{x_1}

\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}.
]
Substituindo de volta:
[
T_2 - T_1

-,\frac{4,q_x}{k,\pi a^2},\Bigl(\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}\Bigr).
]
Isolando qx = -,k,pi a^24, T2 - T1l(tfrac1x1-tfrac1x2r) :
[
q_x

-,\frac{k,\pi a^2}{4},
\frac{T_2 - T_1}{\bigl(\tfrac{1}{x_1}-\tfrac{1}{x_2}\bigr)}.
]
Como o fluxo sai da face fria ( ) para a quente ( ), o sinal fica negativo. Se quisermos só o valor absoluto (taxa de calor), basta inverter o sinal de .

Passo 6

Agora, vamos aos números (tudo em SI):
  • 1x1-1x2 = 10,05-10,25 = 20 - 4 = 16;m^-1 (sem unidade)
  • 3,46;pi,(0,25)^24 = 3,46;pi;0,06254 approx 0,6797;W·m^-1·K^-1
  • |qx| = 0,6797times 20016 approx 2,12;W

Calculando o denominador:

E o fator :

Logo, o valor absoluto de é
[
|q_x|

\frac{0{,}6797\times 200}{16}
\approx 2{,}12;\mathrm{W}.
]

Resposta

A taxa de transferência de calor ao longo do tronco de cone é aproximadamente
qx approx 2,12;W

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