Demonstre os resultados abaixo ( a, omega, k, x, t são números reais positivos):
|e^i k x e^-i omega t+1|^2=2+2 cos (k x-omega t)

Passo 1

Vamos resolver a equação |e^i k x e^-i omega t+1|^2=2+2 cos (k x-omega t). Aqui, estamos lidando com números complexos e suas magnitudes. Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades dos números complexos, especialmente a forma exponencial e a forma trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a expressão e^itheta pode ser escrita usando a fórmula de Euler:
e^itheta = cos(theta) + isin(theta)
Isso nos ajuda a converter expressões exponenciais em termos de funções trigonométricas.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Euler, vamos transformar e^i k x e e^-i omega t:
e^i k x = cos(kx) + isin(kx)
e^-i omega t = cos(omega t) - isin(omega t)

Passo 4

Multiplicando essas duas expressões:
e^i k x e^-i omega t = (cos(kx) + isin(kx))(cos(omega t) - isin(omega t))
Usando a distributiva:
= cos(kx)cos(omega t) - cos(kx)isin(omega t) + isin(kx)cos(omega t) - i^2sin(kx)sin(omega t)
Lembrando que i^2 = -1, simplificamos:
= cos(kx)cos(omega t) - icos(kx)sin(omega t) + isin(kx)cos(omega t) + sin(kx)sin(omega t)
Agrupando os termos reais e imaginários:
= [cos(kx)cos(omega t) + sin(kx)sin(omega t)] + i[sin(kx)cos(omega t) - cos(kx)sin(omega t)]

Passo 5

Agora, acrescentamos 1 à expressão:
e^i k x e^-i omega t + 1 = [cos(kx)cos(omega t) + sin(kx)sin(omega t) + 1] + i[sin(kx)cos(omega t) - cos(kx)sin(omega t)]

Passo 6

A magnitude de um número complexo a + ib é dada por raiza^2 + b^2. Assim, a magnitude ao quadrado é:
|e^i k x e^-i omega t + 1|^2 = [cos(kx)cos(omega t) + sin(kx)sin(omega t) + 1]^2 + [sin(kx)cos(omega t) - cos(kx)sin(omega t)]^2

Passo 7

Simplificando usando identidades trigonométricas:
Primeiro, observe que:
cos(kx)cos(omega t) + sin(kx)sin(omega t) = cos(kx - omega t)
e
sin(kx)cos(omega t) - cos(kx)sin(omega t) = sin(kx - omega t)
Substituindo na expressão da magnitude ao quadrado:
|cdot|^2 = [cos(kx - omega t) + 1]^2 + [sin(kx - omega t)]^2

Passo 8

Expandindo os termos:
= cos^2(kx - omega t) + 2cos(kx - omega t) + 1 + sin^2(kx - omega t)
Sabendo que cos^2theta + sin^2theta = 1, temos:
= 1 + 2cos(kx - omega t) + 1
= 2 + 2cos(kx - omega t)

Resposta

2 + 2 cos(kx - omega t)

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