Uma possível função de onda para uma partícula livre, mas limitada a se mover em uma caixa de tamanho
é:
onde
identifica diferentes soluções (ou estados quânticos).
Agora assuma que o estado da partícula é descrito por
. Calcule a densidade de probabilidade
neste caso. Esta densidade depende do tempo?
Agora assuma que o estado da partícula é descrito por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a densidade de probabilidade $ |\Psi|^2 $ quando a função de onda da partícula livre é a soma de dois estados diferentes, $ \Psi_1 $ e $ \Psi_2 $. Estamos lidando com a matéria de Mecânica Quântica, especificamente com funções de onda em uma caixa quantizada. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar funções de onda e calcular o módulo ao quadrado dessa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as funções de onda individuais:
Aqui, $ n = 1 $ e $ n = 2 $ correspondem aos primeiros dois estados quânticos.
Passo 3
A função de onda total é a soma dessas duas funções:
Podemos fatorar $ A e^{-i \omega t} $:
Passo 4
Agora, para encontrar a densidade de probabilidade $ |\Psi|^2 $, precisamos calcular o módulo ao quadrado dessa função de onda:
Onde $ \Psi^*(x, t) $ é o complexo conjugado de $ \Psi(x, t) $. Como $ e^{-i \omega t} $ tem o conjugado $ e^{i \omega t} $, multiplicando as duas funções:
Passo 5
Multiplicando as expressões:
Note que os termos $ e^{-i \omega t} $ e $ e^{i \omega t} $ se cancelam, já que $ e^{-i \omega t} \cdot e^{i \omega t} = 1 $.
Passo 6
Expandindo o quadrado:
Agora, vamos simplificar cada termo.
Passo 7
Primeiro, sabemos que $ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $, então aplicando isso:
Passo 8
Para o termo de produto, usamos a identidade:
Aplicando $ A = \frac{\pi x}{a} $ e $ B = \frac{2\pi x}{a} $:
Como $ \cos(-\theta) = \cos\theta $:
Passo 9
Substituindo tudo de volta na expressão de $ |\Psi(x, t)|^2 $:
Simplificando:
Somando os termos constantes:
Passo 10
Então, a densidade de probabilidade final fica:
Note que todos os termos são funções de $ x $ e não dependem de $ t $.
Resposta
A densidade de probabilidade é dada por
Essa densidade não depende do tempo $ t $.