Uma possível função de onda para uma partícula livre, mas limitada a se mover em uma caixa de tamanho a é:
Psin(x, t)=A e^-i omega t sin (n pi xa), para 0
onde n=1,2,3, ldots identifica diferentes soluções (ou estados quânticos).
Agora assuma que o estado da partícula é descrito por Psi=Psi1+Psi2. Calcule a densidade de probabilidade (|Psi|^2) neste caso. Esta densidade depende do tempo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a densidade de probabilidade $ |\Psi|^2 $ quando a função de onda da partícula livre é a soma de dois estados diferentes, $ \Psi_1 $ e $ \Psi_2 $. Estamos lidando com a matéria de Mecânica Quântica, especificamente com funções de onda em uma caixa quantizada. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar funções de onda e calcular o módulo ao quadrado dessa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções de onda individuais:
Psi1(x, t) = A e^-i omega t sin(pi xa)
Psi2(x, t) = A e^-i omega t sin(2pi xa)
Aqui, $ n = 1 $ e $ n = 2 $ correspondem aos primeiros dois estados quânticos.

Passo 3

A função de onda total é a soma dessas duas funções:
Psi(x, t) = Psi1(x, t) + Psi2(x, t) = A e^-i omega t sin(pi xa) + A e^-i omega t sin(2pi xa)
Podemos fatorar $ A e^{-i \omega t} $:
A e^-i omega t

Passo 4

Agora, para encontrar a densidade de probabilidade $ |\Psi|^2 $, precisamos calcular o módulo ao quadrado dessa função de onda:
|Psi|^2
Onde $ \Psi^*(x, t) $ é o complexo conjugado de $ \Psi(x, t) $. Como $ e^{-i \omega t} $ tem o conjugado $ e^{i \omega t} $, multiplicando as duas funções:
|Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) cdot Psi^*(x, t)

Passo 5

Multiplicando as expressões:
|Psi(x, t)|^2 = A^2 ( sinpi xa + sin2pi xa )^2
Note que os termos $ e^{-i \omega t} $ e $ e^{i \omega t} $ se cancelam, já que $ e^{-i \omega t} \cdot e^{i \omega t} = 1 $.

Passo 6

Expandindo o quadrado:
|Psi(x, t)|^2 = A^2 [ sin^2pi xa + 2 sinpi xa sin2pi xa + sin^22pi xa ]
Agora, vamos simplificar cada termo.

Passo 7

Primeiro, sabemos que $ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $, então aplicando isso:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
sin^2pi xa = 1 - cos(2pi xa)2

Passo 8

Para o termo de produto, usamos a identidade:
2 sin A sin B = cos(A - B) - cos(A + B)
Aplicando $ A = \frac{\pi x}{a} $ e $ B = \frac{2\pi x}{a} $:
A = pi xa
Como $ \cos(-\theta) = \cos\theta $:
B = 2pi xa

Passo 9

Substituindo tudo de volta na expressão de $ |\Psi(x, t)|^2 $:
|Psi(x, t)|^2
Simplificando:
|Psi(x, t)|^2 = A^2 [ 1 - cos(2pi xa)2 + cos(pi xa) - cos(3pi xa) + 1 - cos(4pi xa)2 ]
Somando os termos constantes:
|Psi(x, t)|^2 = A^2 [ 12 - 12cos(2pi xa) + cos(pi xa) - cos(3pi xa) + 12 - 12cos(4pi xa) ]

Passo 10

Então, a densidade de probabilidade final fica:
|Psi(x, t)|^2 = A^2 ( 1 + cos(pi xa) - 12cos(2pi xa) - cos(3pi xa) - 12cos(4pi xa) )
Note que todos os termos são funções de $ x $ e não dependem de $ t $.

Resposta

A densidade de probabilidade é dada por
|Psi(x, t)|^2 = A^2 ( 1 + cos(pi xa) - 12cos(2pi xa) - cos(3pi xa) - 12cos(4pi xa) )
Essa densidade não depende do tempo $ t $.

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