Demonstre os resultados abaixo ( a, omega, k, x, t são números reais positivos):
|11+e^i k x|^2=12 11+cos (k x)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos que demonstrar que:
|11 + e^i k x|^2 = 12 cdot 11 + cos(k x)
Aqui, $ a, \omega, k, x, t $ são números reais positivos. O conteúdo envolvido nessa demonstração inclui números complexos, módulo de números complexos e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o módulo de uma expressão que envolve números complexos e simplificar a expressão resultante usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão $ e^{i k x} $ usando a fórmula de Euler, que nos diz que:
e^i k x
Aplicando isso a $ e^{i k x} $, temos:
e^i theta = cos(theta) + i sin(theta)

Passo 3

Agora, vamos substituir $ e^{i k x} $ na expressão original:
e^i k x

Passo 4

Para encontrar o módulo dessa expressão, $ \left|\frac{1}{1 + e^{i k x}}\right| $, precisamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de $ 1 + \cos(k x) + i \sin(k x) $ é $ 1 + \cos(k x) - i \sin(k x) $. Assim:
|11 + e^i k x|

Passo 5

Vamos simplificar o denominador. Calculamos:
(1 + cos(k x))^2 + (sin(k x))^2 = 1 + 2cos(k x) + cos^2(k x) + sin^2(k x)
Sabemos que $ \cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta) = 1 $, então:
cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do módulo:
|11 + e^i k x| = 1raiz2(1 + cos(k x)) = 1raiz2 cdot raiz1 + cos(k x)

Passo 7

Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para obter $ \left|\frac{1}{1 + e^{i k x}}\right|^{2} $:
|11 + e^i k x|^2

Resposta

Portanto, demonstramos que:
|11 + e^i k x|^2 = 12 cdot 11 + cos(k x)

Exercícios relacionados