Demonstre os resultados abaixo (
são números reais positivos):
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos que demonstrar que:
Aqui, $ a, \omega, k, x, t $ são números reais positivos. O conteúdo envolvido nessa demonstração inclui números complexos, módulo de números complexos e propriedades das funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o módulo de uma expressão que envolve números complexos e simplificar a expressão resultante usando identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão $ e^{i k x} $ usando a fórmula de Euler, que nos diz que:
Aplicando isso a $ e^{i k x} $, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ e^{i k x} $ na expressão original:
Passo 4
Para encontrar o módulo dessa expressão, $ \left|\frac{1}{1 + e^{i k x}}\right| $, precisamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de $ 1 + \cos(k x) + i \sin(k x) $ é $ 1 + \cos(k x) - i \sin(k x) $. Assim:
Passo 5
Vamos simplificar o denominador. Calculamos:
Sabemos que $ \cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta) = 1 $, então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do módulo:
Passo 7
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para obter $ \left|\frac{1}{1 + e^{i k x}}\right|^{2} $:
Resposta
Portanto, demonstramos que: