É possível medir a energia e o momento linear de uma partícula simultaneamente de forma arbitrária? Mostre que [H, p]=-i \hbar(V \nabla-\nabla V) e verifique sob que cenário esta pergunta faz sentido.

Passo 1

O enunciado pergunta se dá para medir simultaneamente e com precisão arbitrária a energia e o momento linear de uma partícula. Em mecânica quântica, isso equivale a verificar se os operadores correspondente H (Hamiltoniano) e p (momento) comutam. Vamos usar
H = \frac{p^{2}}{2m} + V(\mathbf{r}),
com
p = -\,i\hbar\nabla,
e calcular o comutador [H,p].

Passo 2

Separamos o comutador em
[H,p] \;=\;\Bigl[\tfrac{p^{2}}{2m},\,p\Bigr]\;+\;[V,\,p].
Como \tfrac{p^{2}}{2m} é função de p, vale
\Bigl[\tfrac{p^{2}}{2m},\,p\Bigr] = 0.
Sobram portanto
[H,p] = [V,p].

Passo 3

Para achar [V,p] aplicamos em uma função teste \psi(\mathbf{r}):
[V,p]\,\psi = V\,(-i\hbar\nabla\psi)\;-\;(-i\hbar\nabla)(V\psi).
Expandindo o segundo termo,
(-i\hbar\nabla)(V\psi)= -\,i\hbar\bigl((\nabla V)\,\psi + V\,\nabla\psi\bigr).
Logo
[V,p]\,\psi = -\,i\hbar\bigl(V\nabla\psi - (\nabla V)\psi - V\nabla\psi\bigr) = i\hbar\,(\nabla V)\,\psi.

Passo 4

Reescrevendo como operador, obtemos
[H,p] = [V,p] = -\,i\hbar\bigl(V\nabla - \nabla V\bigr).

Passo 5

Para que H e p sejam compatíveis (comutador nulo), precisamos de
V\nabla - \nabla V = 0 \;\Longrightarrow\; \nabla V = 0.
Isto significa que V é constante (partícula livre ou potencial uniforme).

Resposta

A energia e o momento linear só podem ser simultaneamente determinados com precisão arbitrária quando \nabla V=0, ou seja, no caso de partícula livre (potencial constante), pois só então [H,p]=0.

Exercícios relacionados