É possível medir a energia e o momento linear de uma partícula simultaneamente de forma arbitrária? Mostre que
e verifique sob que cenário esta pergunta faz sentido.
Passo 1
O enunciado pergunta se dá para medir simultaneamente e com precisão arbitrária a energia e o momento linear de uma partícula. Em mecânica quântica, isso equivale a verificar se os operadores correspondente
(Hamiltoniano) e
(momento) comutam. Vamos usar
com
e calcular o comutador
.
Passo 2
Separamos o comutador em
Como
é função de
, vale
Sobram portanto
Passo 3
Para achar
aplicamos em uma função teste
:
Expandindo o segundo termo,
Logo
Passo 4
Reescrevendo como operador, obtemos
Passo 5
Para que
e
sejam compatíveis (comutador nulo), precisamos de
Isto significa que
é constante (partícula livre ou potencial uniforme).
Resposta
A energia e o momento linear só podem ser simultaneamente determinados com precisão arbitrária quando
, ou seja, no caso de partícula livre (potencial constante), pois só então
.