Se possível obtenha a decomposição de Espectral das matrizes abaixo:
A=[ll4 & 1 1 & 4]

Passo 1

O enunciado pede a decomposição espectral da matriz simétrica
A = 4 & 1 [6pt] 1 & 4
Conteúdo: para uma matriz simétrica real, a decomposição espectral (ou diagonalização ortogonal) consiste em achar os autovalores lambdai e um conjunto ortonormal de autovetores ui de modo que
A = PDP^T ou A = sumi lambdai,ui,ui^T
Vamos calcular os autovalores e autovetores ortonormais.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A - lambda I)=0:
det4-lambda & 1 [4pt] 1 & 4-lambda = (4-lambda)^2 - 1 = 0
Isso implica
(4-lambda)^2 = 1 Longrightarrow 4-lambda = pm 1
e, portanto, os autovalores são
lambda1 = 5, lambda2 = 3
]

Passo 3

Agora achamos os autovetores de cada autovalor e os normalizamos.
Para lambda1 = 5, resolvemos (A - 5I)v=0:
-1 & 1 [4pt] 1 & -1 v1 [2pt] v2 = 0 ;Longrightarrow; v1 = v2
Tomamos v^(1) = (1,1) e normalizamos:
u1 = 1raiz21 [2pt] 1
Para lambda2 = 3, resolvemos (A - 3I)v=0:
1 & 1 [4pt] 1 & 1 v1 [2pt] v2 = 0 ;Longrightarrow; v1 = -,v2
Tomamos v^(2) = (1,-1) e normalizamos:
u2 = 1raiz21 [2pt] -1
]

Passo 4

Definindo
P = l[u1;,u2r] e D = 5 & 0 [4pt] 0 & 3,
temos a diagonalização ortogonal
A = P,D,P^T
Em termos de soma de projeções:
A = 5,u1,u1^T ;+; 3,u2,u2^T
]

Resposta

A = P,D,P^T, P = 1raiz21 & 1 [4pt] 1 & -1, D = 5 & 0 [4pt] 0 & 3
ou, equivalentemente,
A = 5,121 & 1 [4pt] 1 & 1 ;+; 3,121 & -1 [4pt] -1 & 1
]

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