Se possível obtenha a decomposição de Espectral das matrizes abaixo:
A=[rr1 & raiz2 raiz2 & 0]

Passo 1

O enunciado pede a decomposição espectral da matriz simétrica
A = 1 & raiz2[6pt]raiz2 & 0
Como A é real e simétrica, sabemos pelo Teorema Espectral que existe uma base ortonormal de autovetores e que
A = sumi=1^2 lambdai,ui,ui^T,
onde lambdai são os autovalores e ui são os autovetores unitários correspondentes.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!1-lambda & raiz2[4pt]raiz2 & -lambda = (1-lambda)(-lambda) - (raiz2)^2 = -lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - lambda - 2
As raízes de
lambda^2 - lambda - 2 = 0
são
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
logo lambda1 = 2 e lambda2 = -1.]

Passo 3

Para , resolvemos
Da primeira linha vem , i.e.\ . Um autovetor conveniente é
cuja norma é . Então o autovetor unitário é
]

Passo 4

Para , resolvemos
Da primeira linha vem , i.e.\ . Um autovetor conveniente é
com norma . Assim o autovetor unitário é
]

Passo 5

Como u1,u2 é uma base ortonormal, a decomposição espectral fica
A = 2,u1,u1^T ;-; 1,u2,u2^T
Escrevendo explicitamente,
u1,u1^T = 13 2 & raiz2[4pt]raiz2 & 1, u2,u2^T = 13 1 & -raiz2[4pt]-raiz2 & 2,
logo
A = 23 2 & raiz2[4pt]raiz2 & 1 ;-; 13 1 & -raiz2[4pt]-raiz2 & 2 ]

Resposta

A = 2,l(tfrac1raiz3[raiz2,,1]^Tr)l(tfrac1raiz3[raiz2,,1]r) ;-; 1,l(tfrac1raiz3[1,,-raiz2]^Tr)l(tfrac1raiz3[1,,-raiz2]r)

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