Se possível obtenha a decomposição de Espectral das matrizes abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a decomposição espectral da matriz simétrica
Como
A é real e simétrica, sabemos pelo Teorema Espectral que existe uma base ortonormal de autovetores e que
onde
lambdai são os autovalores e
ui são os autovetores unitários correspondentes.]
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A :
As raízes de
são
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lambda1 = 2 e
lambda2 = -1 .]
Passo 3
Para
, resolvemos
Da primeira linha vem
, i.e.\
. Um autovetor conveniente é
cuja norma é
. Então o autovetor unitário é
Passo 4
Para
, resolvemos
Da primeira linha vem
, i.e.\
. Um autovetor conveniente é
com norma
. Assim o autovetor unitário é
Passo 5
Como
u1,u2 é uma base ortonormal, a decomposição espectral fica
Escrevendo explicitamente,
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