Se possível obtenha a decomposição de Espectral das matrizes abaixo:
A=[lll5 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 3 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a decomposição espectral da matriz simétrica
A = 5 & 0 & 0 0 & 1 & 3 0 & 3 & 1
O conteúdo da matéria é o Teorema Espectral para matrizes reais simétricas, que afirma que A admite autovalores reais e autovetores ortonormais, e pode ser escrita como
A = sumi=1^3 lambdai,ui,ui^T,
onde lambdai são os autovalores e ui os autovetores normalizados.

Passo 2

Para achar os autovalores, observamos que A é bloco–diagonal nos subespaços gerados por e1 e pelo plano x1=0. O autovalor associado a e1=(1,0,0) é imediatamente
lambda1 = 5
No bloco 2times2
B = 1 & 33 & 1
os autovalores satisfazem
detl(B - lambda Ir) = (1-lambda)^2 - 9 = lambda^2 - 2lambda - 8 = 0,
cuja solução é
lambda = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm 62,
isto é
lambda2 = 4, lambda3 = -2

Passo 3

Agora achamos os autovetores e os normalizamos.
Para , a equação dá o vetor
que já tem norma . Logo
Para , resolvemos
Escolhendo , obtemos . A norma de é , então
Para , resolvemos
Escolhendo , , temos . A norma de também é , logo

Passo 4

Montamos a decomposição espectral usando
A = lambda1,u1u1^T + lambda2,u2u2^T + lambda3,u3u3^T
Substituindo cada par lambdai, ui, resulta
A = 5 100 1&0&0 ;+; 4;12 011 0&1&1 ;+; (-2);12 01-1 0&1&-1

Resposta

boxed A = 5,(1,0,0)^T(1,0,0) ;+; 4,12(0,1,1)^T(0,1,1) ;-; 2,12(0,1,-1)^T(0,1,-1)

Exercícios relacionados