O enunciado nos dá duas superfícies e pede uma parametrização para a curva formada pela interseção entre elas. Informações fornecidas:
Superfície 1: x^{2}+y^{2}+z^{2}=4.
Superfície 2: z=\sqrt{3}.
A pergunta é: qual das alternativas (A), (B), (C), (D), (E) ou (F) apresenta uma parametrização correta dessa curva de interseção?
Passo 2
Vamos entender que tipo de curva é a interseção. Substituindo o valor de z da segunda superfície na equação da esfera obtemos a equação que a curva deve satisfazer no plano z=\sqrt{3}. Faça a substituição:
x^{2}+y^{2}+(\sqrt{3})^{2}=4.
Como (\sqrt{3})^{2}=3, isso fica
x^{2}+y^{2}+3=4.
Subtraindo 3 de ambos os lados:
x^{2}+y^{2}=1.
Explicação didática: essa última equação é a equação de um círculo no plano z=\sqrt{3} centrado na origem projetada no plano xy (ou seja, centro (0,0,\sqrt{3})) com raio igual a 1. Portanto a interseção é um círculo de raio 1 contido no plano horizontal z=\sqrt{3}.
Passo 3
Agora: como parametrizamos um círculo de raio r no plano xy (com z constante)? A parametrização padrão é
onde \theta varia de 0 a 2\pi para percorrer todo o círculo. Aqui r=1 e a constante é z=\sqrt{3}. Substituindo r=1 obtemos a parametrização canônica da curva:
Observação didática sobre o intervalo de \theta: escolher o intervalo [0,2\pi] percorre o círculo uma volta completa. O intervalo [0,\pi] percorre apenas metade do círculo (pois cobre ângulos de 0 a \pi que correspondem a pontos com \sin e \cos repetidos simetricamente).
Passo 4
Comparemos com as alternativas:
(A) dá x=\cos\theta,\\ y=\operatorname{sen}\theta,\\ z=\sqrt{3} com 0\le\theta\le\pi. A fórmula dos x,y está correta para um círculo de raio 1, mas o intervalo 0\le\theta\le\pi cobre só metade do círculo — portanto (A) está incompleta.
(B) dá x=\cos\theta,\\ y=\operatorname{sen}\theta,\\ z=\sqrt{3} com 0\le\theta\le 2\pi. Isso coincide exatamente com a parametrização padrão que encontramos para o círculo de raio 1 em z=\sqrt{3}. Está correta.
(C) e (D) usam x=2\cos\theta,\\ y=2\operatorname{sen}\theta, ou seja, raio 2; mas nós encontramos raio 1. Logo (C) e (D) estão erradas.
(E) propõe x=\operatorname{sen}\varphi,\\ y=\sqrt{3}\operatorname{sen}\varphi,\\ z=\sqrt{3}. Calculando x^{2}+y^{2}=\operatorname{sen}^{2}\varphi\,(1+3)=4\operatorname{sen}^{2}\varphi, que não é constante igual a 1 para todos \varphi. Logo (E) está errada.
(F) seria “nenhuma das anteriores”, mas já vimos que (B) é correta.
Passo 5
Conclusão: a parametrização correta é a que descreve um círculo de raio 1 no plano z=\sqrt{3} percorrido uma volta inteira, ou seja a alternativa (B).