Na transformação x=1+2 e^{3 r} \cos (2 \theta) e y=-2+5 e^{3 r} \operatorname{sen}(2 \theta), o jacobiano
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ll} \frac{d x}{d r} & \frac{d x}{d \theta} \\\ \frac{d y}{d r} & \frac{d y}{d \theta} \end{array}\right]
é igual a
(A) 60 e^{3 r}.
(B) 30 e^{3 r}.
(C) 120 e^{3 r-1}.
(D) 30 e^{6 r}.
(E) 60 e^{6 r}.
(F) outro valor.

Passo 1

O enunciado dá a transformação
x=1+2e^{3r}\cos(2\theta),\qquad y=-2+5e^{3r}\sin(2\theta),
e pede o valor do jacobiano
\det\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{bmatrix}.
Informações relevantes dadas:
  • As expressões explícitas de x e y em função de r e \theta.
  • É pedido calcular o determinante da matriz formada pelas derivadas parciais \dfrac{\partial x}{\partial r},\dfrac{\partial x}{\partial\theta},\dfrac{\partial y}{\partial r},\dfrac{\partial y}{\partial\theta}.

Passo 2

Calcular \dfrac{\partial x}{\partial r} e explicar a regra usada.
Regra: para \,x=1+2e^{3r}\cos(2\theta)\, vemos um produto 2\cdot e^{3r}\cdot\cos(2\theta). Ao derivar em relação a r tratamos \cos(2\theta) como constante e aplicamos a derivada de e^{3r}. Pela regra da cadeia, a derivada de e^{3r} é 3e^{3r}.
Portanto
\frac{\partial x}{\partial r} =2\cdot(3e^{3r})\cos(2\theta) =6e^{3r}\cos(2\theta).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial x}{\partial\theta} e explicar a regra usada.
Regra: ao derivar 2e^{3r}\cos(2\theta) em relação a \theta, o fator 2e^{3r} é constante (em \theta) e derivamos \cos(2\theta). Pela regra da cadeia, \dfrac{d}{d\theta}\cos(2\theta)=-2\sin(2\theta).
Logo
\frac{\partial x}{\partial\theta} =2e^{3r}\cdot(-2\sin(2\theta)) =-4e^{3r}\sin(2\theta).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial y}{\partial r} e \dfrac{\partial y}{\partial\theta}, com as regras aplicadas.
Para \,y=-2+5e^{3r}\sin(2\theta)\,:
  • Derivando em relação a r: \sin(2\theta) é constante, e \dfrac{d}{dr}e^{3r}=3e^{3r}. Assim
\frac{\partial y}{\partial r}=5\cdot(3e^{3r})\sin(2\theta)=15e^{3r}\sin(2\theta).
  • Derivando em relação a \theta: 5e^{3r} é constante e \dfrac{d}{d\theta}\sin(2\theta)=2\cos(2\theta). Assim
\frac{\partial y}{\partial\theta}=5e^{3r}\cdot 2\cos(2\theta)=10e^{3r}\cos(2\theta).

Passo 5

Montar o determinante e simplificar passo a passo.
A definição do jacobiano aqui é
J=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial\theta} -\frac{\partial x}{\partial\theta}\frac{\partial y}{\partial r}.
Substituindo as derivadas calculadas:
J=(6e^{3r}\cos(2\theta))(10e^{3r}\cos(2\theta)) -(-4e^{3r}\sin(2\theta))(15e^{3r}\sin(2\theta)).
Agora multiplicar termos e fatorar e^{3r}\cdot e^{3r}=e^{6r}:
J=60e^{6r}\cos^2(2\theta)-(-60e^{6r}\sin^2(2\theta)) =60e^{6r}\cos^2(2\theta)+60e^{6r}\sin^2(2\theta).
Usando a identidade trigonométrica \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1, com \alpha=2\theta, obtemos
J=60e^{6r}\cdot 1=60e^{6r}.

Passo 6

Interpretação final e dica rápida para a prova.
Resultado: o jacobiano não depende de \theta porque as partes trigonométricas aparecem combinadas em \cos^2(2\theta)+\sin^2(2\theta). Em prova, uma técnica eficiente é fatorar exponenciais comuns e procurar identidades trigonométricas que simplifiquem o determinante.

Resposta

(E) 60 e^{6 r}

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