Na transformação
e
, o jacobiano
é igual a
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(F) outro valor.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F) outro valor.
Passo 1
O enunciado dá a transformação
e pede o valor do jacobiano
Informações relevantes dadas:
- As expressões explícitas de
e em função de e . - É pedido calcular o determinante da matriz formada pelas derivadas parciais
.
Passo 2
Calcular
e explicar a regra usada.
Regra: para
vemos um produto
. Ao derivar em relação a
tratamos
como constante e aplicamos a derivada de
. Pela regra da cadeia, a derivada de
é
.
Portanto
Passo 3
Calcular
e explicar a regra usada.
Regra: ao derivar
em relação a
, o fator
é constante (em
) e derivamos
. Pela regra da cadeia,
.
Logo
Passo 4
Calcular
e
, com as regras aplicadas.
Para
:
- Derivando em relação a
: é constante, e . Assim
- Derivando em relação a
: é constante e . Assim
Passo 5
Montar o determinante e simplificar passo a passo.
A definição do jacobiano aqui é
Substituindo as derivadas calculadas:
Agora multiplicar termos e fatorar
:
Usando a identidade trigonométrica
, com
, obtemos
Passo 6
Interpretação final e dica rápida para a prova.
Resultado: o jacobiano não depende de
porque as partes trigonométricas aparecem combinadas em
. Em prova, uma técnica eficiente é fatorar exponenciais comuns e procurar identidades trigonométricas que simplifiquem o determinante.
Resposta
(E)