Uma possível parametrização para o gráfico da equação \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1, \operatorname{com} y \geq 0, é
(A) \left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\\ y=3 \operatorname{sen} \theta\end{array}, 0 \leq \theta \leq \pi\right..
(B) \left\{\begin{array}{l}x=4 \cos \theta \\\ y=9 \operatorname{sen} \theta\end{array}, 0 \leq \theta \leq \pi\right..
(C) \left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \theta \\\ y=3 \operatorname{sen} \theta\end{array},-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right..
(D) \left\{\begin{array}{l}x=4 \cos \theta \\\ y=9 \operatorname{sen} \theta\end{array},-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right..
(E) \left\{\begin{array}{l}x=6 \cos \theta \\\ y=6 \operatorname{sen} \theta\end{array}, 0 \leq \theta \leq 2 \pi\right..
(F) nenhuma das anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a equação da curva
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
com a restrição y\ge 0, e pede escolher qual das parametrizações dadas descreve esse gráfico. As informações relevantes são:
  • A curva é a elipse com semi-eixos a=2 (no eixo x) e b=3 (no eixo y), pois os denominadores são 4=2^{2} e 9=3^{2}.
  • Queremos apenas a metade superior da elipse, isto é, os pontos com y\ge 0.
  • As opções fornecidas são (A) a (F) (já dadas no enunciado).

Passo 2

Primeiro, um pouco de teoria básica (passo-a-passo, do jeitinho que dá para usar na prova).
Fato útil: para todo \theta vale a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Explicação didática: \cos\theta e \sin\theta são as coordenadas de um ponto na circunferência unitária; ao elevar ao quadrado e somar obtém-se 1 (o raio ao quadrado). Esse é o motivo da igualdade acima.
Agora a técnica padrão para parametrizar a elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 é tomar
x=a\cos\theta,\qquad y=b\sin\theta.
Por quê? Substituindo na equação da elipse obtemos
\frac{(a\cos\theta)^{2}}{a^{2}}+\frac{(b\sin\theta)^{2}}{b^{2}} =\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1,
usando a identidade trigonométrica. Assim todo \theta fornece um ponto da elipse. Aqui a e b são, respectivamente, o semi-eixo horizontal e o semi-eixo vertical.
Exemplo concreto: se a=2 e b=3, então a parametrização natural é x=2\cos\theta,\\ y=3\sin\theta.

Passo 3

Aplicando o procedimento ao caso dado: como a=2 e b=3, verificar que
x=2\cos\theta,\qquad y=3\sin\theta
satisfazem a equação da elipse:
\frac{(2\cos\theta)^{2}}{4}+\frac{(3\sin\theta)^{2}}{9} =\frac{4\cos^{2}\theta}{4}+\frac{9\sin^{2}\theta}{9} =\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
Portanto essa parametrização (com \theta variando adequadamente) gera pontos da elipse.

Passo 4

Agora a questão do intervalo de \theta para obter apenas a metade superior y\ge 0. Como y=3\sin\theta, precisamos de \sin\theta\ge 0. O conjunto de valores de \theta onde \sin\theta\ge 0 em um período é [0,\pi] (ou qualquer intervalo congruente por 2\pi, mas o mais comum e simples é [0,\pi]). Com \theta\in[0,\pi] temos:
  • \sin\theta\ge 0 então y=3\sin\theta\ge 0 (satisfeito).
  • Quando \theta vai de 0 a \pi, x=2\cos\theta varia de 2 a -2, portanto percorre toda a metade superior da elipse exatamente uma vez (do ponto (2,0) ao (-2,0) passando pelo topo).
Logo a escolha natural para a metade superior é
x=2\cos\theta,\qquad y=3\sin\theta,\qquad 0\le\theta\le\pi,
que coincide com a opção (A).

Passo 5

Verificação e eliminação das outras opções (para você saber o raciocínio na prova):
  • Verificação simples da opção (C): ela tem x=2\cos\theta,\\ y=3\sin\theta mas com -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}. Nesse intervalo \sin\theta pode ser negativa (por exemplo \theta=-\tfrac{\pi}{2} \sin\theta=-1 e y=-3), então a opção (C) inclui pontos com y<0 e não descreve apenas a metade superior. Além disso esse intervalo cobre a metade direita da elipse, não a metade superior.
  • Opções (B) e (D): usam x=4\cos\theta e y=9\sin\theta. Substituindo na equação dada obtém-se
\frac{(4\cos\theta)^{2}}{4}+\frac{(9\sin\theta)^{2}}{9} =4\cos^{2}\theta+9\sin^{2}\theta,
que, em geral, não é igual a 1. Portanto essas parametrizações não produzem a elipse dada.
  • Opção (E): x=6\cos\theta,\\ y=6\sin\theta é parametrização de uma circunferência de raio 6 (em coordenadas cartesianas), e na elipse ela não satisfaz a equação (substituindo dá 9\cos^{2}\theta+4\sin^{2}\theta ou similar, também não igual a 1). Logo (E) é incorreta.
  • Assim (A) é a única opção correta entre as dadas.

Resposta

(A)

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