Uma possível parametrização para o gráfico da equação
, é
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(F) nenhuma das anteriores.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F) nenhuma das anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a equação da curva
com a restrição
, e pede escolher qual das parametrizações dadas descreve esse gráfico. As informações relevantes são:
- A curva é a elipse com semi-eixos
(no eixo ) e (no eixo ), pois os denominadores são e . - Queremos apenas a metade superior da elipse, isto é, os pontos com
. - As opções fornecidas são (A) a (F) (já dadas no enunciado).
Passo 2
Primeiro, um pouco de teoria básica (passo-a-passo, do jeitinho que dá para usar na prova).
Fato útil: para todo
vale a identidade trigonométrica
Explicação didática:
e
são as coordenadas de um ponto na circunferência unitária; ao elevar ao quadrado e somar obtém-se
(o raio ao quadrado). Esse é o motivo da igualdade acima.
Agora a técnica padrão para parametrizar a elipse
é tomar
Por quê? Substituindo na equação da elipse obtemos
usando a identidade trigonométrica. Assim todo
fornece um ponto da elipse. Aqui
e
são, respectivamente, o semi-eixo horizontal e o semi-eixo vertical.
Exemplo concreto: se
e
, então a parametrização natural é
.
Passo 3
Aplicando o procedimento ao caso dado: como
e
, verificar que
satisfazem a equação da elipse:
Portanto essa parametrização (com
variando adequadamente) gera pontos da elipse.
Passo 4
Agora a questão do intervalo de
para obter apenas a metade superior
. Como
, precisamos de
. O conjunto de valores de
onde
em um período é
(ou qualquer intervalo congruente por
, mas o mais comum e simples é
). Com
temos:
-
então (satisfeito). - Quando
vai de a , varia de a , portanto percorre toda a metade superior da elipse exatamente uma vez (do ponto ao passando pelo topo).
Logo a escolha natural para a metade superior é
que coincide com a opção (A).
Passo 5
Verificação e eliminação das outras opções (para você saber o raciocínio na prova):
-
Verificação simples da opção (C): ela tem
mas com . Nesse intervalo pode ser negativa (por exemplo dá e ), então a opção (C) inclui pontos com e não descreve apenas a metade superior. Além disso esse intervalo cobre a metade direita da elipse, não a metade superior. -
Opções (B) e (D): usam
e . Substituindo na equação dada obtém-se
que, em geral, não é igual a
. Portanto essas parametrizações não produzem a elipse dada.
-
Opção (E):
é parametrização de uma circunferência de raio (em coordenadas cartesianas), e na elipse ela não satisfaz a equação (substituindo dá ou similar, também não igual a ). Logo (E) é incorreta. -
Assim (A) é a única opção correta entre as dadas.
Resposta
(A)