com as variações
(A) 0 \leq \theta \leq 2 \pi e 0 \leq z \leq 4-3 \cos \theta.
(B) 0 \leq \theta \leq \pi e 0 \leq z \leq 4-3 \cos \theta.
(C) 0 \leq \theta \leq \pi e 0 \leq z \leq 4-3 \operatorname{sen} \theta.
(D) 0 \leq \theta \leq 2 \pi e 0 \leq z \leq 4-3 \operatorname{sen} \theta.
(E) -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} e 0 \leq z \leq 4.
(F) nenhuma das anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a parte do cilindro \;x^{2}+y^{2}=9\;\) entre os planos \(\;z=0\;\) e \(\;z+y=4\;\) e propõe a parametrização
\[\begin{cases} x=3\cos\theta\\[4pt] y=3\operatorname{sen}\theta\\[4pt] z=z \end{cases}
com diferentes variações de \theta\] e \(z listadas nas alternativas (A) a (F).
A tarefa é identificar qual alternativa descreve corretamente as variações de \theta e z que parametrize exatamente a porção do cilindro entre os dois planos.]
Passo 2
Substituir a coordenada y da parametrização na equação do plano \;z+y=4\; para achar a cota superior de z em função de \theta. Pela parametrização temos \;y=3\operatorname{sen}\theta\;. Assim o plano dá
z = 4 - y = 4 - 3\operatorname{sen}\theta.
Passo 3
Interpretar geometricamente o “entre os planos”: para um ponto do cilindro com parâmetro \theta fixo, a coordenada z varia desde o plano inferior \;z=0\; até o plano superior \;z=4-3\operatorname{sen}\theta\;. Logo, para cada \theta admissível devemos ter
0 \le z \le 4 - 3\operatorname{sen}\theta.
Passo 4
Determinar o intervalo de \theta. A parametrização com \theta varrendo um intervalo de comprimento 2\pi descreve a circunferência \;x^{2}+y^{2}=9\; uma vez. As alternativas usam intervalos padrão como [0,2\pi], [0,\pi], etc. Precisamos verificar se há \theta proibidos por fazerem 4-3\operatorname{sen}\theta<0 (o que tornaria o intervalo de z vazio).
Calcular o menor valor de 4-3\operatorname{sen}\theta. Como \operatorname{sen}\theta\le 1 para todo \theta, tem-se
Portanto 4-3\operatorname{sen}\theta\ge 1>0 para todo \theta. Conclusão: não há necessidade de restringir \theta para garantir z\ge 0; todos os \theta produzem uma cota superior positiva. Assim é natural escolher \theta variando por um intervalo de comprimento 2\pi, por exemplo [0,2\pi], que percorre toda a circunferência.
Passo 5
Comparar com as alternativas: a expressão correta do teto é z=4-3\operatorname{sen}\theta, e \theta deve percorrer toda a circunferência (um intervalo de comprimento 2\pi). Isso corresponde exatamente à alternativa (D): \;0\le\theta\le 2\pi\; e \;0\le z\le 4-3\operatorname{sen}\theta\;. As outras alternativas falham porque usam 3\cos\theta (plano depende de y, não de x), ou restringem \theta sem necessidade, ou colocam teto constante 4 incorretamente.