É possivel resolver sistemas de equações diferenciais pelo Método por eliminação, um método simples, da seguinte forma: I)Da primeira equação, isole y(em função de dotx, x e do termo não homogêneo) II) então derive a primeira equação, e nesta expressão, substitua doty pelo que encontramos na 2^ a equação e III) persistindo uma ocorrência de y nesta última expressão, substitua o valor encontrado no passo I). Desta forma, obtenha uma equação diferencial de 2^ a ordem para x e uma expressão (a do passo I) de y em função de dotx e x
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. O sistema que temos é:
d yd x = -3 y - z, d zd x = y - z
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar um método para eliminar uma das variáveis, facilitando a resolução. Para isso, vamos seguir os três passos descritos no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar uma das variáveis na primeira equação. Vamos isolar $ y $ em função de $ \frac{dy}{dx} $, $ y $ e $ z $. A primeira equação é:
y
Queremos expressar $ y $ em termos de $ \frac{dy}{dx} $ e $ z $. No entanto, como já temos $ \frac{dy}{dx} $ isolado, vamos manter essa equação para o próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos derivar a primeira equação em relação a $ x $. Isso significa que vamos calcular a segunda derivada de $ y $, ou seja, $ \frac{d^2 y}{d x^2} $. Derivando ambos os lados da primeira equação:
x
Agora substituímos $ \frac{d z}{d x} $ pela expressão da segunda equação do sistema:
y
Então, substituindo na equação derivada:
d^2 yd x^2

Passo 4

Agora, vamos substituir $ z $ da primeira equação na equação que acabamos de derivar. Da primeira equação:
z
Substituindo $ z $ na equação da segunda derivada:
d yd x = -3 y - z Rightarrow z = -3 y - d yd x
Simplificando:
z
d^2 yd x^2 = -3 d yd x - ( y - (-3 y - d yd x) )
d^2 yd x^2 = -3 d yd x - y + 3 y + d yd x

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para $ y $:
y
Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, encontramos as raízes características da equação característica associada:
d^2 yd x^2 + 2 d yd x - 2 y = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r^2 + 2 r - 2 = 0

Passo 6

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral para $ y $ é:
y
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Passo 7

Agora que temos $ y(x) $, podemos encontrar $ z(x) $ usando a expressão que encontramos anteriormente:
y(x)
Primeiro, vamos calcular $ \frac{d y}{d x} $:
z(x)
Então, substituindo na expressão de $ z $:
z = -3 y - d yd x
Simplificando:
d yd x
d yd x = C1 (-1 + raiz3) e^(-1 + raiz3) x + C2 (-1 - raiz3) e^(-1 - raiz3) x

Resposta

A solução geral do sistema é:
y(x) = C1 e^(-1 + raiz3) x + C2 e^(-1 - raiz3) x, z(x) = (-2 - raiz3) C1 e^(-1 + raiz3) x + (-2 + raiz3) C2 e^(-1 - raiz3) x,
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.

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