É possivel resolver sistemas de equações diferenciais pelo Método por eliminação, um método simples, da seguinte forma: I)Da primeira equação, isole y(em função de
e do termo não homogêneo) II) então derive a primeira equação, e nesta expressão, substitua
pelo que encontramos na
equação e III) persistindo uma ocorrência de y nesta última expressão, substitua o valor encontrado no passo I). Desta forma, obtenha uma equação diferencial de
ordem para x e uma expressão (a do passo I) de y em função de
e
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
b)
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. O sistema que temos é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem e vamos usar um método para eliminar uma das variáveis, facilitando a resolução. Para isso, vamos seguir os três passos descritos no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar uma das variáveis na primeira equação. Vamos isolar $ y $ em função de $ \frac{dy}{dx} $, $ y $ e $ z $. A primeira equação é:
Queremos expressar $ y $ em termos de $ \frac{dy}{dx} $ e $ z $. No entanto, como já temos $ \frac{dy}{dx} $ isolado, vamos manter essa equação para o próximo passo.
Passo 3
Agora, vamos derivar a primeira equação em relação a $ x $. Isso significa que vamos calcular a segunda derivada de $ y $, ou seja, $ \frac{d^2 y}{d x^2} $. Derivando ambos os lados da primeira equação:
Agora substituímos $ \frac{d z}{d x} $ pela expressão da segunda equação do sistema:
Então, substituindo na equação derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ z $ da primeira equação na equação que acabamos de derivar. Da primeira equação:
Substituindo $ z $ na equação da segunda derivada:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para $ y $:
Essa é uma equação linear homogênea com coeficientes constantes. Para resolver, encontramos as raízes características da equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 6
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral para $ y $ é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Passo 7
Agora que temos $ y(x) $, podemos encontrar $ z(x) $ usando a expressão que encontramos anteriormente:
Primeiro, vamos calcular $ \frac{d y}{d x} $:
Então, substituindo na expressão de $ z $:
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.