É possivel resolver sistemas de equações diferenciais pelo Método por eliminação, um método simples, da seguinte forma: I)Da primeira equação, isole y(em função de
e do termo não homogêneo) II) então derive a primeira equação, e nesta expressão, substitua
pelo que encontramos na
equação e III) persistindo uma ocorrência de y nesta última expressão, substitua o valor encontrado no passo I). Desta forma, obtenha uma equação diferencial de
ordem para x e uma expressão (a do passo I) de y em função de
e
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
a)
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. O que temos aqui é um sistema com duas equações envolvendo as derivadas de $ y $ e $ z $ em relação a $ x $. Para resolver, vamos seguir os passos do método:
- Isolar $ y $ na primeira equação em função de $ \frac{dx}{dt} $, $ x $ e os termos constantes.
- Derivar a primeira equação e substituir $ \frac{dy}{dx} $ pela segunda equação.
- Se ainda tiver $ y $ na expressão, substituir pelo valor encontrado no passo 1.
- Isso vai nos dar uma equação diferencial de segunda ordem para $ x $ e uma expressão para $ y $ em função de $ \frac{dx}{dt} $ e $ x $.
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos isolar $ y $ na primeira equação:
Queremos deixar $ y $ sozinho, então:
Dividindo tudo por 2:
Mas isso ainda está com $ y $ e $ z $. Parece que precisamos de uma abordagem melhor. Vamos reorganizar a primeira equação para expressar $ y $ diretamente:
Aqui, isolamos $ y $ em termos das derivadas e $ x $.
Passo 3
Agora, vamos derivar a primeira equação em relação a $ x $:
Aqui, usamos a regra da derivada para cada termo.
Passo 4
Na segunda equação do sistema, temos:
Podemos isolar $ \frac{dz}{dx} $:
Agora, substituímos $ \frac{dz}{dx} $ na equação derivada do passo 3:
Simplificando:
Passo 5
Lembrando da expressão que temos para $ y $ da primeira equação:
Podemos isolar $ z $:
Agora, substituímos $ z $ na equação do passo 4:
Simplificando:
Juntando termos semelhantes:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Passo 6
Agora, reorganizamos para obter a equação diferencial de segunda ordem para $ y $:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, podemos encontrar a solução geral da homogênea e uma solução particular.
Passo 7
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A equação característica é:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos duas raízes:
A solução geral da homogênea é:
Passo 8
Agora, encontramos uma solução particular $ y_p $ para a equação completa:
Vamos supor uma solução particular da forma:
Calculamos as derivadas:
Substituímos na equação:
Expandindo:
Agrupando termos:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação para $ y $ é a soma da homogênea com a particular:
Passo 10
Agora, voltamos para encontrar $ z $ usando a expressão isolada anteriormente:
Calculamos $ \frac{dy}{dx} $:
Substituindo na expressão para $ z $:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando ainda mais:
Então, temos:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.