É possivel resolver sistemas de equações diferenciais pelo Método por eliminação, um método simples, da seguinte forma: I)Da primeira equação, isole y(em função de dotx, x e do termo não homogêneo) II) então derive a primeira equação, e nesta expressão, substitua doty pelo que encontramos na 2^ a equação e III) persistindo uma ocorrência de y nesta última expressão, substitua o valor encontrado no passo I). Desta forma, obtenha uma equação diferencial de 2^ a ordem para x e uma expressão (a do passo I) de y em função de dotx e x
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. O que temos aqui é um sistema com duas equações envolvendo as derivadas de $ y $ e $ z $ em relação a $ x $. Para resolver, vamos seguir os passos do método:
  1. Isolar $ y $ na primeira equação em função de $ \frac{dx}{dt} $, $ x $ e os termos constantes.
  2. Derivar a primeira equação e substituir $ \frac{dy}{dx} $ pela segunda equação.
  3. Se ainda tiver $ y $ na expressão, substituir pelo valor encontrado no passo 1.
  4. Isso vai nos dar uma equação diferencial de segunda ordem para $ x $ e uma expressão para $ y $ em função de $ \frac{dx}{dt} $ e $ x $.
Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos isolar $ y $ na primeira equação:
y
Queremos deixar $ y $ sozinho, então:
dydx + 2y + 4z = 1 + 4x
Dividindo tudo por 2:
y
Mas isso ainda está com $ y $ e $ z $. Parece que precisamos de uma abordagem melhor. Vamos reorganizar a primeira equação para expressar $ y $ diretamente:
2y = 1 + 4x - dydx - 4z
Aqui, isolamos $ y $ em termos das derivadas e $ x $.

Passo 3

Agora, vamos derivar a primeira equação em relação a $ x $:
x
Aqui, usamos a regra da derivada para cada termo.

Passo 4

Na segunda equação do sistema, temos:
dzdx + y - z = 32x^2
Podemos isolar $ \frac{dz}{dx} $:
dzdx
Agora, substituímos $ \frac{dz}{dx} $ na equação derivada do passo 3:
dzdx = 32x^2 - y + z
Simplificando:
dzdx

Passo 5

Lembrando da expressão que temos para $ y $ da primeira equação:
y
Podemos isolar $ z $:
dydx = 1 + 4x - 2y - 4z
z
Agora, substituímos $ z $ na equação do passo 4:
4z = 1 + 4x - 2y - dydx
Simplificando:
z = 14 + x - 12y - 14dydx
Juntando termos semelhantes:
z
Subtraindo 4 de ambos os lados:
d^2ydx^2 + 2dydx + 6x^2 - 4y + 4( 14 + x - 12y - 14dydx ) = 4

Passo 6

Agora, reorganizamos para obter a equação diferencial de segunda ordem para $ y $:
y
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, podemos encontrar a solução geral da homogênea e uma solução particular.

Passo 7

Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
d^2ydx^2 + dydx - 6y = 0
A equação característica é:
r^2 + r - 6 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
Então, temos duas raízes:
r1 = 2 e r2 = -3
A solução geral da homogênea é:
yh = C1 e^2x + C2 e^-3x

Passo 8

Agora, encontramos uma solução particular $ y_p $ para a equação completa:
yp
Vamos supor uma solução particular da forma:
d^2ydx^2 + dydx - 6y = -6x^2 - 4x + 3
Calculamos as derivadas:
yp = Ax^2 + Bx + C
dypdx = 2Ax + B
Substituímos na equação:
d^2ypdx^2 = 2A
Expandindo:
2A + (2Ax + B) - 6(Ax^2 + Bx + C) = -6x^2 - 4x + 3
Agrupando termos:
2A + 2Ax + B - 6Ax^2 - 6Bx - 6C = -6x^2 - 4x + 3
Igualando os coeficientes:
-6Ax^2 + (2A - 6B)x + (2A + B - 6C) = -6x^2 - 4x + 3
-6A = -6 Rightarrow A = 1
2A - 6B = -4 Rightarrow 2(1) - 6B = -4 Rightarrow -6B = -6 Rightarrow B = 1
Então, a solução particular é:
2A + B - 6C = 3 Rightarrow 2(1) + 1 - 6C = 3 Rightarrow 3 - 6C = 3 Rightarrow -6C = 0 Rightarrow C = 0

Passo 9

A solução geral da equação para $ y $ é a soma da homogênea com a particular:
y

Passo 10

Agora, voltamos para encontrar $ z $ usando a expressão isolada anteriormente:
z
Calculamos $ \frac{dy}{dx} $:
z = 14 + x - 12y - 14dydx
Substituindo na expressão para $ z $:
dydx
Simplificando:
dydx = 2x + 1 + 2C1 e^2x - 3C2 e^-3x
Agrupando termos semelhantes:
z
Simplificando ainda mais:
z = 14 + x - 12(C1 e^2x + C2 e^-3x + x^2 + x) - 14(2x + 1 + 2C1 e^2x - 3C2 e^-3x)
Então, temos:
z = 14 + x - 12C1 e^2x - 12C2 e^-3x - 12x^2 - 12x - 12x - 14 - 12C1 e^2x + 34C2 e^-3x

Resposta

A solução geral do sistema é:
y = C1 e^2x + C2 e^-3x + x^2 + x, z = -12x^2 - C1 e^2x + 14C2 e^-3x,
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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