Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
e) h(x)=raiz[4]xx+3

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função h(x)=raiz[4]xx+3. O conteúdo é domínio de função real que envolve raiz de índice par e fração. Para resolver, precisamos impor que o radicando xx+3 seja não negativo e que o denominador x+3 não seja zero.

Passo 2

Como a raiz é de índice 4 (par), devemos ter radicando maior ou igual a zero: xx+3>= 0. Além disso, pela definição de fração, x+3neq 0, ou seja, xneq -3.

Passo 3

Para resolver a inequação xx+3>= 0, identificamos os pontos críticos onde numerador ou denominador são zero: x=0 e x=-3. Eles dividem a reta em três intervalos:
  • x<-3
  • -3
  • x>0

Passo 4

Fazendo o estudo de sinais de x e x+3 em cada intervalo:
  • Em x<-3: numerador ( x) é negativo e denominador ( x+3) também é negativo, então a fração é positiva.
  • Em -3: numerador é negativo e denominador é positivo, fração negativa.
  • Em x>0: numerador e denominador são positivos, fração positiva.

Passo 5

Incluímos também o ponto x=0 pois aí a fração é zero e fica raiz[4]0=0 bem definido. O ponto x=-3 deve ser excluído.

Passo 6

Portanto, a solução da inequação é x<-3 ou x>= 0, com xneq -3 excluído automaticamente em x<-3.

Resposta

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