É possivel resolver sistemas de equações diferenciais pelo Método por eliminação, um método simples, da seguinte forma: I)Da primeira equação, isole y(em função de dotx, x e do termo não homogêneo) II) então derive a primeira equação, e nesta expressão, substitua doty pelo que encontramos na 2^ a equação e III) persistindo uma ocorrência de y nesta última expressão, substitua o valor encontrado no passo I). Desta forma, obtenha uma equação diferencial de 2^ a ordem para x e uma expressão (a do passo I) de y em função de dotx e x
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
c) $\left{ ll d yd x+2 y+z=sen x, d zd x-4 y-2 z & =cos x \right.\right.\right. $

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede. Temos duas equações que envolvem as funções $ y(x) $ e $ z(x) $ e suas derivadas em relação a $ x $. Nosso objetivo é manipular essas equações para isolar uma das funções e, eventualmente, resolver para $ y $ e $ z $. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e como manipular sistemas de equações lineares.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação do sistema:
dydx + 2y + z = sin x
Nosso primeiro passo é isolar o $ y $. Para isso, vamos reorganizar a equação:
y
Agora, temos $ \frac{dy}{dx} $ isolado em termos de $ y $, $ z $ e $ \sin x $.

Passo 3

Em seguida, vamos derivar a primeira equação em relação a $ x $. Isso significa que vamos calcular a derivada de ambos os lados da equação original:
x
Calculando as derivadas, temos:
ddx(dydx + 2y + z) = ddx(sin x)

Passo 4

Agora, observamos que temos a expressão $ \frac{dz}{dx} $ na equação que acabamos de derivar. Vamos usar a segunda equação do sistema original para substituir $ \frac{dz}{dx} $:
dzdx
Substituindo isso na equação derivada:
dzdx

Passo 5

Perceba que o termo $ \cos x $ aparece dos dois lados da equação e pode ser cancelado:
cos x
Agora, ainda temos o $ z $ na equação. Mas, lembrando do que fizemos no Passo 2, onde isolamos $ \frac{dy}{dx} = \sin x - 2y - z $, podemos resolver para $ z $:
d^2ydx^2 + 2dydx + 4y + 2z = 0

Passo 6

Vamos substituir essa expressão de $ z $ na equação que obtemos no Passo 5:
z
Distribuindo o 2:
d^2ydx^2 + 2dydx + 4y + 2( sin x - 2y - dydx ) = 0

Passo 7

Agora, vamos simplificar a equação:
  • $ 4y - 4y = 0 $
  • $ 2\frac{dy}{dx} - 2\frac{dy}{dx} = 0 $
Então, sobra:
4y - 4y = 0

Passo 8

Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem para $ y $:
y
Para resolver essa equação, vamos integrar duas vezes. A primeira integração nos dará $ \frac{dy}{dx} $:
d^2ydx^2 = -2sin x
E a segunda integração nos dará $ y $:
dydx
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.

Passo 9

Agora que temos $ y(x) = 2\sin x + C_1x + C_2 $, podemos substituir de volta na expressão que isolamos para $ z $:
y(x) = 2sin x + C1x + C2
Substituindo $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $:
z
Simplificando:
z = sin x - 2y - dydx
y

Passo 10

Finalmente, temos as soluções para $ y $ e $ z $:
y
z

Resposta

As soluções do sistema são:
y(x) = 2sin x + C1x + C2
z(x) = -3sin x - 2C1x - 2C2 - 2cos x - C1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

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