É possivel resolver sistemas de equações diferenciais pelo Método por eliminação, um método simples, da seguinte forma: I)Da primeira equação, isole y(em função de
e do termo não homogêneo) II) então derive a primeira equação, e nesta expressão, substitua
pelo que encontramos na
equação e III) persistindo uma ocorrência de y nesta última expressão, substitua o valor encontrado no passo I). Desta forma, obtenha uma equação diferencial de
ordem para x e uma expressão (a do passo I) de y em função de
e
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
c) $\left{
\right.\right.\right. $
Para cada uma das equações abaixo, aplique e resolva o sistema utilizando o método por eliminação.
c) $\left{
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o Método por Eliminação. Primeiro, vamos entender o que o enunciado pede. Temos duas equações que envolvem as funções $ y(x) $ e $ z(x) $ e suas derivadas em relação a $ x $. Nosso objetivo é manipular essas equações para isolar uma das funções e, eventualmente, resolver para $ y $ e $ z $. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas e como manipular sistemas de equações lineares.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação do sistema:
Nosso primeiro passo é isolar o $ y $. Para isso, vamos reorganizar a equação:
Agora, temos $ \frac{dy}{dx} $ isolado em termos de $ y $, $ z $ e $ \sin x $.
Passo 3
Em seguida, vamos derivar a primeira equação em relação a $ x $. Isso significa que vamos calcular a derivada de ambos os lados da equação original:
Calculando as derivadas, temos:
Passo 4
Agora, observamos que temos a expressão $ \frac{dz}{dx} $ na equação que acabamos de derivar. Vamos usar a segunda equação do sistema original para substituir $ \frac{dz}{dx} $:
Substituindo isso na equação derivada:
Passo 5
Perceba que o termo $ \cos x $ aparece dos dois lados da equação e pode ser cancelado:
Agora, ainda temos o $ z $ na equação. Mas, lembrando do que fizemos no Passo 2, onde isolamos $ \frac{dy}{dx} = \sin x - 2y - z $, podemos resolver para $ z $:
Passo 6
Vamos substituir essa expressão de $ z $ na equação que obtemos no Passo 5:
Distribuindo o 2:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a equação:
- $ 4y - 4y = 0 $
- $ 2\frac{dy}{dx} - 2\frac{dy}{dx} = 0 $
Então, sobra:
Passo 8
Agora, temos uma equação diferencial de segunda ordem para $ y $:
Para resolver essa equação, vamos integrar duas vezes. A primeira integração nos dará $ \frac{dy}{dx} $:
E a segunda integração nos dará $ y $:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.
Passo 9
Agora que temos $ y(x) = 2\sin x + C_1x + C_2 $, podemos substituir de volta na expressão que isolamos para $ z $:
Substituindo $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $:
Simplificando:
Passo 10
Finalmente, temos as soluções para $ y $ e $ z $:
Resposta
As soluções do sistema são:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.