4- É possível saber quantas interações são necessárias para se conseguir resolver uma equação pelo método de Newton?
Passo 1
O enunciado pergunta se dá para saber de antemão quantas iterações do método de Newton serão necessárias para obter uma aproximação de determinada precisão. O conteúdo envolvido é a convergência local quadrática de Newton e o que vamos precisar é o estimador de erro a priori, que depende de um limite superior para
e de um limite inferior para
.
Passo 2
Lembrando o método de Newton, a iteração é
e, sob as hipóteses
-
num intervalo contendo a raiz , -
, - existem constantes
e tais que e nesse intervalo,
determina-se que o errosatisfaz localmente uma desigualdade quadrática.
Passo 3
Pela expansão de Taylor em torno de
e usando as hipóteses acima chega-se ao estimador
vamos chamar de
logo
Passo 4
Iterando essa relação por indução, obtém-se
Em particular, se
, aí o método converge quadráticamente.
Passo 5
Para garantir
(tolerância desejada), basta resolver
Tomando logaritmo em ambos os lados e desprezando termos constantes, chega-se a
e, finalmente, isolando
,
Como
precisa ser inteiro, toma-se
Passo 6
Esse
é um limite superior a priori para o número de iterações necessárias até a precisão
. Na prática,
,
e
não são exatamente conhecidos, então não dá para saber o número exato, mas podemos estimar um teto
antes de iterar.
Resposta
Sim: embora não se determine exatamente o número de passos sem informação precisa de
,
e
, a análise de convergência quadrática de Newton fornece um estimador a priori. Se
,
e
, então para atingir erro
basta
iterações.