Resolva em \mathbb{R} as inequações abaixo:
raizx+1<2-raizx-4

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação
raizx+1 < 2 - raizx-4
O conteúdo envolvido é manipulação de radicais e resolução de inequações, incluindo domínio de definição e elevação ao quadrado cuidando do sinal dos lados.

Passo 2

Primeiro encontramos o domínio onde a expressão faz sentido:
– Para raizx+1 é necessário x+1>=0, ou seja x>=-1.
– Para raizx-4 é necessário x-4>=0, ou seja x>=4.
Logo, o domínio comum é
x>=4

Passo 3

Para que possamos comparar raizx+1 com 2-raizx-4, precisamos ainda que o segundo lado seja não negativo (caso contrário teríamos algo do tipo não negativo < número negativo, impossível). Então exigimos
2-raizx-4>=0 Long<=ftrightarrow raizx-4<=2 Long<=ftrightarrow x-4<=4 Long<=ftrightarrow x<=8
Combinando com x>=4, só faz sentido procurar soluções em
4 <= x <= 8

Passo 4

Nessa faixa 4<= x<=8, tanto raizx+1>=0 quanto 2-raizx-4>=0, então podemos passar raizx-4 para o outro lado e obter
raizx+1 + raizx-4 < 2

Passo 5

Agora elevamos ao quadrado ambos os lados (soma de radicais < constante não negativa), lembrando que (A+B)^2 = A^2 + B^2 + 2AB:
l(raizx+1 + raizx-4r)^2 < 2^2 Longrightarrow (x+1) + (x-4) + 2raiz(x+1)(x-4) < 4
Isto é
2x - 3 + 2raiz(x+1)(x-4) < 4 Long<=ftrightarrow 2raiz(x+1)(x-4) < 7 - 2x

Passo 6

No intervalo 4<= x<=8, o lado esquerdo 2raiz(x+1)(x-4) é >=0, enquanto o lado direito 7-2x varia de 7-2cdot4= -1 até 7-2cdot8=-9, ou seja é sempre estritamente negativo. Assim ficamos com
underbrace2raiz(x+1)(x-4)>=0 < underbrace7-2x<0,
o que não ocorre para nenhum x em [4,8].

Resposta

A inequação não possui solução em R. (Solução: conjunto vazio)

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