Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes:
O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro obter a solução geral da equação homogênea associada e em seguida determinar uma solução particular para cada termo do lado direito.
Passo 2
Consideramos a equação homogênea
A equação característica é
cuja solução é
e
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para o termo
no segundo membro, como
é solução da homogênea (raiz
de multiplicidade 1), fazemos o ansatz
Derivando,
Substituindo na equação:
Para que isso seja igual a
precisamos de
, ou seja
. Assim
Passo 4
Para o termo polinomial
, como nenhum dos seus expoentes é raiz da característica, tentamos
Então
Na equação:
Isso deve ser igual a
, i.e. coeficientes
em
e
em
e constante. Igualando:
resulta em
Logo
Passo 5
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com as duas particulares: