Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais
y^prime prime-4 y^prime+3 y=e^t+t^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes:
y'' - 4y' + 3y = e^t + t^2
O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro obter a solução geral da equação homogênea associada e em seguida determinar uma solução particular para cada termo do lado direito.

Passo 2

Consideramos a equação homogênea
y'' - 4y' + 3y = 0
A equação característica é
r^2 - 4r + 3 = 0
cuja solução é r=1 e r=3. Logo a solução geral homogênea é
yh = C1 e^t + C2 e^3t

Passo 3

Para o termo e^t no segundo membro, como e^t é solução da homogênea (raiz r=1 de multiplicidade 1), fazemos o ansatz
yp1 = A,t,e^t
Derivando,
yp1' = A e^t(t+1), yp1'' = A e^t(t+2)
Substituindo na equação:
yp1'' -4yp1' +3yp1 = A e^tl[(t+2)-4(t+1)+3tr] = A e^t(-2) = -2A e^t
Para que isso seja igual a e^t precisamos de -2A=1, ou seja A=-tfrac12. Assim
yp1 = -tfrac12,t,e^t

Passo 4

Para o termo polinomial t^2, como nenhum dos seus expoentes é raiz da característica, tentamos
yp2 = a t^2 + b t + c
Então
yp2' = 2a t + b, yp2'' = 2a
Na equação:
yp2'' -4yp2' +3yp2 = 2a -4(2a t + b) +3(at^2 + bt + c) = 3a,t^2 +(-8a+3b),t + (2a -4b +3c)
Isso deve ser igual a t^2, i.e. coeficientes 1 em t^2 e 0 em t e constante. Igualando:
3a = 1, -8a +3b = 0, 2a -4b +3c = 0
resulta em
a = tfrac13, b = tfrac89, c = tfrac2627
Logo
yp2 = tfrac13,t^2 + tfrac89,t + tfrac2627

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com as duas particulares:
y(t) = C1 e^t + C2 e^3t -tfrac12,t,e^t + tfrac13,t^2 + tfrac89,t + tfrac2627

Resposta

y(t) = C1 e^t + C2 e^3t - tfrac12,t,e^t + tfrac13,t^2 + tfrac89,t + tfrac2627

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