Seja A o retângulo 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1 calcule integral duplaA f(x, y) d A quando f(x, y)=
1x+y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaA f(x,y),dA
sobre o retângulo A = (x,y)mid 1<= x<= 2,;0<= y<= 1 com
f(x,y)=1x+y
Como f é contínua em A, podemos usar o Teorema de Fubini e escrever
integral duplaA 1x+y,dA = integralx=1^2!l(integraly=0^11x+y,dyr)dx

Passo 2

Integramos primeiro em y:
integral0^11x+y,dy =[ln(x+y)]y=0^y=1 =ln(x+1)-ln(x)

Passo 3

Logo a integral original vira
integral1^2l(ln(x+1)-ln(x)r),dx

Passo 4

Para calcular
integralln(x+1),dx e
integralln(x),dx usamos integração por partes:
integralln(x+1),dx =(x+1)ln(x+1)-x,
integralln(x),dx =xln(x)-x

Passo 5

Substituindo os limites em
integral1^2[ln(x+1)-ln(x)],dx obtemos
l[(x+1)ln(x+1)-xr]1^2 -l[xln(x)-xr]1^2 =(3ln3-2ln2)-(2ln2-0) =3ln3-4ln2

Resposta

integral duplaA 1x+y,dA =3ln(3)-4ln(2) =ln!2716

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