Considere
. Determine:
a) O domínio da função e sua representação no plano
;
b) Dê cada equação e esboce as curvas de nível de
para
e
.
a) O domínio da função e sua representação no plano
b) Dê cada equação e esboce as curvas de nível de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- a) Determinar o domínio de
e descrever/representar esse domínio no plano . - b) Escrever a equação das curvas de nível de
e esboçar (ou descrever como esboçar) as curvas para , e .
Informações dadas que vamos usar: a fórmula explícita
; as variáveis
e
são números reais. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Entendendo o que é domínio: o domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares
para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). Aqui a expressão tem uma divisão por
, então devemos excluir os pontos em que a divisão seria por zero.
Logo, a condição para que
esteja definida é simplesmente
. Não há nenhuma restrição sobre
(pode ser qualquer real).
Passo 3
Escrevendo o domínio em notação de conjunto e interpretando geometricamente:
- Notação:
. - Interpretação geométrica: é todo o plano
exceto a reta vertical (ou seja, exceto o eixo ). Em outras palavras, o domínio é a união das duas regiões e (duas “folhas” à direita e à esquerda do eixo ).
Ao desenhar, basta desenhar o plano e riscar/destacar a reta vertical
como excluída (por exemplo, traçar essa reta pontilhada ou sombreá-la).
Passo 4
O que é uma curva de nível: para um valor fixo
, a curva de nível de
associada a
é o conjunto de pontos
tal que
. Matematicamente, resolvemos
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que estamos considerando
porque esse é o domínio), obtemos a equação da curva de nível:
Portanto, para cada
a curva de nível é a reta que passa pela origem com declive (inclinação)
. Porém atenção: a origem
tem
e portanto não pertence ao domínio; assim os pontos
devem ser excluídos das curvas de nível (mesmo que matematicamente
passe pela origem, o ponto não faz parte da curva de nível porque a função não está definida em
).
Passo 5
Curva de nível para
:
- Equação:
, isto é, . - Interpretação e detalhe importante: é a reta de inclinação
que passa pela origem, mas como o domínio exclui , a curva de nível é a reta — ou seja, a reta com o ponto removido. - Como esboçar na prova: desenhe a reta
(45º), e marque um pequeno círculo aberto no ponto de interseção com os eixos (a origem) para indicar que esse ponto não pertence.
Passo 6
Curva de nível para
:
- Equação:
. - Interpretação: é o eixo
(reta horizontal), mas novamente o ponto está fora do domínio, então efetivamente a curva de nível é — o eixo com a origem removida. - Como esboçar: desenhe o eixo
e coloque um pequeno círculo aberto na origem.
Passo 7
Curva de nível para
:
- Equação:
, isto é, . - Interpretação: reta de inclinação
passando pela origem; a curva de nível é (reta com a origem removida). - Como esboçar: desenhe a reta
(45º descendente) e remova o ponto da origem.
Passo 8
Observações finais que ajudam na prova e no entendimento:
- Para qualquer
, a curva de nível é com . Cada ponto do domínio determina um único , então as retas (com origem excluída) “folheiam” o domínio. - Ao fazer um esboço das curvas pedidas: primeiro desenhe os eixos; trace o eixo
(reta ) como excluído; em seguida desenhe as retas , e e indique a ausência do ponto (círculo aberto). - Exemplo extra (para fixar): para
a curva é (mais inclinada), para é (declive negativo mais suave).
Resposta
a)
(todo o plano menos a reta
, isto é, o eixo
excluído).
b)
(reta
com o ponto
removido) \
k=0:;y=0) (eixo com o ponto
removido) \
k=-1:;y=-x) (reta com o ponto
removido)
k=0:;y=0) (eixo
k=-1:;y=-x) (reta