Considere f(x, y)=\frac{y}{x}. Determine:
a) O domínio da função e sua representação no plano x y;
b) Dê cada equação e esboce as curvas de nível de f para k=1, k=0 e k=-1.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{y}{x} e pede duas coisas:
  • a) Determinar o domínio de f e descrever/representar esse domínio no plano x y.
  • b) Escrever a equação das curvas de nível de f e esboçar (ou descrever como esboçar) as curvas para k=1, k=0 e k=-1.
Informações dadas que vamos usar: a fórmula explícita f(x,y)=\dfrac{y}{x}; as variáveis x e y são números reais. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Entendendo o que é domínio: o domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). Aqui a expressão tem uma divisão por x, então devemos excluir os pontos em que a divisão seria por zero.
Logo, a condição para que f(x,y) esteja definida é simplesmente x\neq 0. Não há nenhuma restrição sobre y (pode ser qualquer real).

Passo 3

Escrevendo o domínio em notação de conjunto e interpretando geometricamente:
  • Notação: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\}.
  • Interpretação geométrica: é todo o plano \mathbb{R}^2 exceto a reta vertical x=0 (ou seja, exceto o eixo y). Em outras palavras, o domínio é a união das duas regiões x>0 e x<0 (duas “folhas” à direita e à esquerda do eixo y).
Ao desenhar, basta desenhar o plano e riscar/destacar a reta vertical x=0 como excluída (por exemplo, traçar essa reta pontilhada ou sombreá-la).

Passo 4

O que é uma curva de nível: para um valor fixo k\in\mathbb{R}, a curva de nível de f associada a k é o conjunto de pontos (x,y) tal que f(x,y)=k. Matematicamente, resolvemos
\frac{y}{x}=k.
Multiplicando ambos os lados por x (lembrando que estamos considerando x\neq 0 porque esse é o domínio), obtemos a equação da curva de nível:
y=kx.
Portanto, para cada k a curva de nível é a reta que passa pela origem com declive (inclinação) k. Porém atenção: a origem (0,0) tem x=0 e portanto não pertence ao domínio; assim os pontos (0,0) devem ser excluídos das curvas de nível (mesmo que matematicamente y=kx passe pela origem, o ponto não faz parte da curva de nível porque a função não está definida em x=0).

Passo 5

Curva de nível para k=1:
  • Equação: \;y=1\cdot x, isto é, \;y=x.
  • Interpretação e detalhe importante: é a reta de inclinação 1 que passa pela origem, mas como o domínio exclui x=0, a curva de nível é a reta \{(x,x)\mid x\neq 0\} — ou seja, a reta y=x com o ponto (0,0) removido.
  • Como esboçar na prova: desenhe a reta y=x (45º), e marque um pequeno círculo aberto no ponto de interseção com os eixos (a origem) para indicar que esse ponto não pertence.

Passo 6

Curva de nível para k=0:
  • Equação: \;y=0.
  • Interpretação: é o eixo x (reta horizontal), mas novamente o ponto (0,0) está fora do domínio, então efetivamente a curva de nível é \{(x,0)\mid x\neq 0\} — o eixo x com a origem removida.
  • Como esboçar: desenhe o eixo x e coloque um pequeno círculo aberto na origem.

Passo 7

Curva de nível para k=-1:
  • Equação: \;y=-1\cdot x, isto é, \;y=-x.
  • Interpretação: reta de inclinação -1 passando pela origem; a curva de nível é \{(x,-x)\mid x\neq 0\} (reta y=-x com a origem removida).
  • Como esboçar: desenhe a reta y=-x (45º descendente) e remova o ponto da origem.

Passo 8

Observações finais que ajudam na prova e no entendimento:
  • Para qualquer k, a curva de nível é y=kx com x\neq 0. Cada ponto do domínio determina um único k=\dfrac{y}{x}, então as retas y=kx (com origem excluída) “folheiam” o domínio.
  • Ao fazer um esboço das curvas pedidas: primeiro desenhe os eixos; trace o eixo y (reta x=0) como excluído; em seguida desenhe as retas y=x, y=0 e y=-x e indique a ausência do ponto (0,0) (círculo aberto).
  • Exemplo extra (para fixar): para k=2 a curva é y=2x (mais inclinada), para k=-\tfrac{1}{2} é y=-\tfrac{1}{2}x (declive negativo mais suave).

Resposta

a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\} (todo o plano menos a reta x=0, isto é, o eixo y excluído).
b) k=1:\;y=x (reta y=x com o ponto (0,0) removido) \
k=0:;y=0) (eixo x com o ponto (0,0) removido) \
k=-1:;y=-x) (reta y=-x com o ponto (0,0) removido)

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