Pelo Teorema de Green a integral de linha
, onde
é o triângulo de vértices
e
, é igual a:
(a)
(b)
(c)
(d)
dy Nenhuma das anteriores
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha
onde
é o triângulo com vértices
,
e
, em uma integral dupla e identificar qual das alternativas (a)–(d) corresponde àquela integral. Dados relevantes fornecidos:
vértices do triângulo:
,
,
. As alternativas mostram integrais iteradas com limites envolvendo
entre
e
e
ligados a
e
. A tarefa é montar a integral dupla correta pelo Teorema de Green e comparar com as alternativas.
Passo 2
Aplico o enunciado do Teorema de Green (forma padrão): para uma curva
positivamente orientada que limita uma região
,
Aqui
e
já foram identificados. Vou calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando. Lembra:
trata
como constante e
trata
como constante.
Calculemos
:
porque
é tratado como constante e
.
Calculemos
:
porque
é constante e
.
Portanto o integrando do duplo é
Passo 3
Descrever a região
limitada pelo triângulo com vértices
,
,
.
A reta que liga
a
tem equação
(porque passa por origem e por
tem
). A aresta superior é a reta horizontal
. A aresta esquerda é
com
de
a
.
Para fixar a ordem de integração conveniente: tomando
como variável externa,
varia de
até
. Para cada
fixo em
,
varia da reta inferior
até a reta superior
. Logo os limites naturais são
(Alternativa para ordem invertida:
e
.)
Passo 4
Montando a integral dupla pelo Teorema de Green com a ordem
inversa ou
. Usando
(como nas alternativas), temos:
Esta é a expressão correta (assumindo orientação positiva de
, que é o usual quando se aplica o Teorema de Green).
Passo 5
Agora comparo com as alternativas. Vou reescrever as alternativas em forma explícita e simplificar o integrando de cada uma quando for necessário (todos os números e expressões matemáticas entre
conforme pedido).
Alternativa (a):
O integrando aqui é
Além disso os limites internos vão de
até
. Para
temos
, logo integrar de
até
é o negativo de integrar de
até
. Assim (a) equivale a
Comparando com a integral correta
, os integrandos são diferentes (um tem termos
, o outro tem
). Logo (a) não coincide.
Alternativa (b):
Aqui o integrando é novamente
. A ordem dos limites está na mesma direção que a nossa (de
até
), mas o integrando é diferente do correto
. Portanto (b) também não coincide.
Alternativa (c) (escrita na questão de forma confusa) propõe algo como
mas isso está estranha porque a integração interna em
tem limites
a
que dependem de
e ainda começam em
(fora do intervalo
). Além disso o integrando é função diferente:
. Essa forma não faz sentido para a descrição da região nem corresponde ao integrando obtido por Green. Logo (c) está incorreta ou mal formulada e não coincide.
Alternativa (d) também aparece mal formulada (limites e diferenciais confusos) e o integrando indicado
ou variações não coincidem com
.
Portanto nenhuma das alternativas (a)–(d) fornece exatamente a integral dupla
Passo 6
Conclusão: a aplicação direta do Teorema de Green dá a integral iterada
e nenhuma das alternativas (a)–(d) é igual a essa expressão (ou está mal formulada). Logo a resposta correta é a opção “Nenhuma das anteriores”.
Resposta
Nenhuma das anteriores