Pelo Teorema de Green a integral de linha \int x^{2} y d x-4 x y^{3} d y, onde C é o triângulo de vértices (0,0),(1,3) e (0,3), é igual a:
(a) \int_{0}^{1}\left[\int_{3}^{3 x} 2 y\left(2 y^{2}-x^{2}\right) d y\right] d x
(b) \int_{0}^{1}\left[\int_{3 x}^{3} 2 y\left(2 y^{2}-x^{2}\right) d y\right] d x
(c) \int_{0}^{1}\left[\int_{3}^{3 x}\left(4 y^{2}-x^{2} y\right) d x\right] d y \times
(d) \int_{0}^{1}\left[\int_{3}^{3 x}\left(4 y^{2}-x^{2} y\right) d y\right] d x \times dy Nenhuma das anteriores
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Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha
\int_C x^{2}y\,dx - 4xy^{3}\,dy
onde C é o triângulo com vértices (0,0), (1,3) e (0,3), em uma integral dupla e identificar qual das alternativas (a)–(d) corresponde àquela integral. Dados relevantes fornecidos:
P(x,y)=x^{2}y,\qquad Q(x,y)=-4xy^{3},
vértices do triângulo: (0,0), (1,3), (0,3). As alternativas mostram integrais iteradas com limites envolvendo x entre 0 e 1 e y ligados a 3x e 3. A tarefa é montar a integral dupla correta pelo Teorema de Green e comparar com as alternativas.

Passo 2

Aplico o enunciado do Teorema de Green (forma padrão): para uma curva C positivamente orientada que limita uma região D,
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui P e Q já foram identificados. Vou calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando. Lembra: \frac{\partial}{\partial x} trata y como constante e \frac{\partial}{\partial y} trata x como constante.
Calculemos \frac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(-4xy^{3}\big) = -4y^{3},
porque y^{3} é tratado como constante e \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1.
Calculemos \frac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y\big) = x^{2},
porque x^{2} é constante e \frac{\partial}{\partial y}(y)=1.
Portanto o integrando do duplo é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -4y^{3} - x^{2}.

Passo 3

Descrever a região D limitada pelo triângulo com vértices (0,0), (1,3), (0,3).
A reta que liga (0,0) a (1,3) tem equação y=3x (porque passa por origem e por x=1 tem y=3). A aresta superior é a reta horizontal y=3. A aresta esquerda é x=0 com y de 0 a 3.
Para fixar a ordem de integração conveniente: tomando x como variável externa, x varia de 0 até 1. Para cada x fixo em [0,1], y varia da reta inferior y=3x até a reta superior y=3. Logo os limites naturais são
0\le x\le 1,\qquad 3x\le y\le 3.
(Alternativa para ordem invertida: 0\le y\le 3 e 0\le x\le y/3.)

Passo 4

Montando a integral dupla pelo Teorema de Green com a ordem dx\,dy inversa ou dy\,dx. Usando dy\,dx (como nas alternativas), temos:
\iint_D\big(-4y^{3}-x^{2}\big)\,dA = \int_{x=0}^{1}\left[\int_{y=3x}^{3}\big(-4y^{3}-x^{2}\big)\,dy\right]dx.
Esta é a expressão correta (assumindo orientação positiva de C, que é o usual quando se aplica o Teorema de Green).

Passo 5

Agora comparo com as alternativas. Vou reescrever as alternativas em forma explícita e simplificar o integrando de cada uma quando for necessário (todos os números e expressões matemáticas entre conforme pedido).
Alternativa (a):
\int_{0}^{1}\left[\int_{3}^{3x} 2y\big(2y^{2}-x^{2}\big)\,dy\right]dx.
O integrando aqui é
2y(2y^{2}-x^{2}) = 4y^{3} - 2x^{2}y.
Além disso os limites internos vão de y=3 até y=3x. Para x\in[0,1] temos 3x\le 3, logo integrar de 3 até 3x é o negativo de integrar de 3x até 3. Assim (a) equivale a
-\int_{0}^{1}\left[\int_{3x}^{3}\big(4y^{3}-2x^{2}y\big)\,dy\right]dx.
Comparando com a integral correta \int_{0}^{1}\left[\int_{3x}^{3}\big(-4y^{3}-x^{2}\big)\,dy\right]dx, os integrandos são diferentes (um tem termos 4y^{3}-2x^{2}y, o outro tem -4y^{3}-x^{2}). Logo (a) não coincide.
Alternativa (b):
\int_{0}^{1}\left[\int_{3x}^{3} 2y\big(2y^{2}-x^{2}\big)\,dy\right]dx.
Aqui o integrando é novamente 4y^{3}-2x^{2}y. A ordem dos limites está na mesma direção que a nossa (de 3x até 3), mas o integrando é diferente do correto -4y^{3}-x^{2}. Portanto (b) também não coincide.
Alternativa (c) (escrita na questão de forma confusa) propõe algo como
\int_{0}^{1}\left[\int_{3}^{3x}\big(4y^{2}-x^{2}y\big)\,dx\right]dy,
mas isso está estranha porque a integração interna em x tem limites 3 a 3x que dependem de x e ainda começam em 3 (fora do intervalo x\in[0,1]). Além disso o integrando é função diferente: 4y^{2}-x^{2}y. Essa forma não faz sentido para a descrição da região nem corresponde ao integrando obtido por Green. Logo (c) está incorreta ou mal formulada e não coincide.
Alternativa (d) também aparece mal formulada (limites e diferenciais confusos) e o integrando indicado 4y^{2}-x^{2}y ou variações não coincidem com -4y^{3}-x^{2}.
Portanto nenhuma das alternativas (a)–(d) fornece exatamente a integral dupla
\int_{0}^{1}\left[\int_{3x}^{3}\big(-4y^{3}-x^{2}\big)\,dy\right]dx.

Passo 6

Conclusão: a aplicação direta do Teorema de Green dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{3x}^{3}\big(-4y^{3}-x^{2}\big)\,dy\right]dx,
e nenhuma das alternativas (a)–(d) é igual a essa expressão (ou está mal formulada). Logo a resposta correta é a opção “Nenhuma das anteriores”.

Resposta

Nenhuma das anteriores

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