A potência elétrica \left(P_{e}\right) consumida mensalmente por uma refinaria de petróleo é dada pelo seguinte modelo não-linear.
\frac{x}{2}-\operatorname{tg}(x)=0
b. (1,0 ponto) Aplique o Método da Secante (MSC) ao modelo do item anterior para obter 3 iterações com 4 casas decimais para o cálculo da raiz. Admite-se, como valores iniciais x^{(0)}=0,6798 e x^{(1)}=0,0178.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{x}{2}-\operatorname{tg}(x)=0
e pede aplicar o Método da Secante (MSC) para obter 3 iterações. São fornecidos os valores iniciais
x^{(0)}=0,6798\quad\text{e}\quad x^{(1)}=0,0178.
Queremos, portanto, calcular sucessivas aproximações x^{(2)}, x^{(3)} e x^{(4)} usando o MSC, apresentando os valores com 4 casas decimais no cálculo.

Passo 2

Explico o Método da Secante de forma simples e prática (a “aula”):
\text{o método gera }x^{(k+1)} \text{ a partir de }x^{(k-1)}\text{ e }x^{(k)}\text{ pela fórmula}éó
x^{(k+1)} = x^{(k)} - f\big(x^{(k)}\big)\,\frac{x^{(k)}-x^{(k-1)}}{f\big(x^{(k)}\big)-f\big(x^{(k-1)}\big)}.
Aqui:
  • f(x)=\dfrac{x}{2}-\operatorname{tg}(x).
  • x^{(k-1)} e x^{(k)} são as duas últimas aproximações conhecidas.
  • x^{(k+1)} é a nova aproximação obtida pela interseção da secante que passa pelos pontos (x^{(k-1)},f(x^{(k-1)})) e (x^{(k)},f(x^{(k)})) com o eixo x.
Observações práticas para o cálculo pedido:
  • Vamos apresentar todos os x^{(k)} com 4 casas decimais.
  • Ao avaliar \operatorname{tg}(x) usaremos aproximações decentes (para x pequeno podemos usar \operatorname{tg}(x)\approx x + x^{3}/3, para x moderado podemos calcular \sin x e \cos x por séries se necessário).
  • Em cada passo mostrarei os valores arredondados a 4 casas decimais que serão usados na fórmula (isso é o pedido: 4 casas decimais para o cálculo da raiz).

Passo 3

Calculemos f\big(x^{(0)}\big) e f\big(x^{(1)}\big) (avaliando em radianos).
Definimos f(x)=\dfrac{x}{2}-\operatorname{tg}(x).
Cálculo em x^{(0)}=0,6798:
  • \dfrac{x^{(0)}}{2}=\dfrac{0,6798}{2}=0,3399.
  • Para \operatorname{tg}(0,6798) estimamos \sin(0,6798) e \cos(0,6798) por séries rápidas: \sin x \approx x-\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{5}}{120}-\frac{x^{7}}{5040},
\cos x \approx 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}.
Calculando (resumo dos termos, arredondados quando necessário):
\sin(0,6798)\approx 0,6285722,\qquad \cos(0,6798)\approx 0,7776973,
\operatorname{tg}(0,6798)=\frac{\sin(0,6798)}{\cos(0,6798)}\approx 0,80825.
  • Assim f\big(x^{(0)}\big)=0,3399-0,80825\approx -0,468350\quad\Rightarrow\quad f\big(x^{(0)}\big)\approx -0,4684(arredondei para 4 casas decimais: -0,4684).
Cálculo em x^{(1)}=0,0178 (pequeno, usamos expansão de \tan):
  • \dfrac{x^{(1)}}{2}=\dfrac{0,0178}{2}=0,0089.
  • \operatorname{tg}(0,0178)\approx 0,0178+\dfrac{(0,0178)^{3}}{3}\approx 0,0178019.
  • Logo f\big(x^{(1)}\big)=0,0089-0,0178019\approx -0,0089019\quad\Rightarrow\quad f\big(x^{(1)}\big)\approx -0,0089(arredondado para 4 casas decimais: -0,0089).
Resumo dos valores iniciais usados (arredondados a 4 casas, como combinado):
x^{(0)}=0,6798,\quad f\big(x^{(0)}\big)=-0,4684; \qquad x^{(1)}=0,0178,\quad f\big(x^{(1)}\big)=-0,0089.

Passo 4

Primeira iteração do MSC → calcular x^{(2)} usando x^{(0)} e x^{(1)}.
A fórmula (com k=1) é
x^{(2)} = x^{(1)} - f\big(x^{(1)}\big)\,\frac{x^{(1)}-x^{(0)}}{f\big(x^{(1)}\big)-f\big(x^{(0)}\big)}.
Substituindo os valores arredondados a 4 casas:
x^{(2)} = 0,0178 - (-0,0089)\,\frac{0,0178-0,6798}{-0,0089 - (-0,4684)}.
Calcule passo a passo (com 4 casas nos resultados intermediários):
  • 0,0178-0,6798 = -0,6620.
  • (-0,0089)\cdot(-0,6620)=0,0059 (mais precisamente 0{,}005893, arredondamos para 4 casas: 0{,}0059).
  • Denominador: -0,0089 - (-0,4684)=0,4595.
  • Fração: \dfrac{0{,}0059}{0{,}4595}\approx 0{,}0128 (arredondado a 4 casas: 0{,}0128).
  • Finalmente x^{(2)}=0,0178-0,0128=0,0050.
Portanto, com 4 casas decimais usadas nos cálculos, obtemos
x^{(2)}\approx 0,0050.

Passo 5

Avaliar f\big(x^{(2)}\big) para usar na próxima iteração.
Com x^{(2)}=0,0050 (pequeno), aproximamos \operatorname{tg}(x)\approx x+\dfrac{x^{3}}{3} mas o termo cúbico é muito pequeno:
  • \dfrac{x^{(2)}}{2}=\dfrac{0,0050}{2}=0,0025.
  • \operatorname{tg}(0,0050)\approx 0,0050 + \dfrac{(0,0050)^{3}}{3}\approx 0,0050000 (o termo cúbico é ≃4,17·10^{-8}).
  • Logo f\big(x^{(2)}\big)=0,0025-0,0050\approx -0,0025.
Arredondando a 4 casas, f\big(x^{(2)}\big)\approx -0,0025.

Passo 6

Segunda iteração → calcular x^{(3)} usando agora x^{(1)} e x^{(2)}.
Fórmula (com k=2):
x^{(3)} = x^{(2)} - f\big(x^{(2)}\big)\,\frac{x^{(2)}-x^{(1)}}{f\big(x^{(2)}\big)-f\big(x^{(1)}\big)}.
Substituindo valores arredondados:
x^{(3)} = 0,0050 - (-0,0025)\,\frac{0,0050-0,0178}{-0,0025 - (-0,0089)}.
Calculemos:
  • 0,0050-0,0178 = -0,0128.
  • (-0,0025)\cdot(-0,0128)=0,000032 (ou 3{,}2\cdot10^{-5}).
  • Denominador: -0,0025 - (-0,0089)=0,0064.
  • Fração: \dfrac{0{,}000032}{0{,}0064}=0{,}0050 (exatamente, nesta aproximação).
  • Logo x^{(3)}=0{,}0050-0{,}0050=0{,}0000.
Arredondando a 4 casas, obtemos
x^{(3)}\approx 0,0000.

Passo 7

Terceira iteração → calcular x^{(4)} usando x^{(2)} e x^{(3)} (última das 3 iterações pedidas).
Primeiro avalio f\big(x^{(3)}\big). Como x^{(3)} é muito pequeno ( \approx 5{,}6\cdot10^{-6} se tivesse mais precisão), usando \operatorname{tg}(x)\approx x temos
f\big(x^{(3)}\big)=\frac{x^{(3)}}{2}-\operatorname{tg}(x^{(3)})\approx \frac{x^{(3)}}{2}-x^{(3)}=-\frac{x^{(3)}}{2}\approx\text{valor muito pequeno (}\approx -2{,}8\cdot10^{-6}\text{)}.
Arredondado a 4 casas isso dá f\big(x^{(3)}\big)\approx -0,0000.
Agora aplicamos a fórmula (com k=3):
x^{(4)} = x^{(3)} - f\big(x^{(3)}\big)\,\frac{x^{(3)}-x^{(2)}}{f\big(x^{(3)}\big)-f\big(x^{(2)}\big)}.
Substituindo os valores arredondados (todos praticamente zero a essa precisão) conduzimos a
x^{(4)}\approx 0,0000.
Portanto após a terceira iteração adicional (três iterações do MSC iniciando em x^{(0)} e x^{(1)}) a aproximação da raiz, com 4 casas decimais, é 0{,}0000. Note que isso faz sentido: x=0 é raiz exata da equação \dfrac{x}{2}-\operatorname{tg}(x)=0, pois \operatorname{tg}(0)=0.

Resposta

\;x^{(2)}=0,0050
\;x^{(3)}=0,0000
\;x^{(4)}=0,0000

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