A potência elétrica
consumida mensalmente por uma refinaria de petróleo é dada pelo seguinte modelo não-linear.
b. (1,0 ponto) Aplique o Método da Secante (MSC) ao modelo do item anterior para obter 3 iterações com 4 casas decimais para o cálculo da raiz. Admite-se, como valores iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede aplicar o Método da Secante (MSC) para obter 3 iterações. São fornecidos os valores iniciais
Queremos, portanto, calcular sucessivas aproximações
,
e
usando o MSC, apresentando os valores com 4 casas decimais no cálculo.
Passo 2
Explico o Método da Secante de forma simples e prática (a “aula”):
Aqui:
-
. -
e são as duas últimas aproximações conhecidas. -
é a nova aproximação obtida pela interseção da secante que passa pelos pontos e com o eixo .
Observações práticas para o cálculo pedido:
- Vamos apresentar todos os
com 4 casas decimais. - Ao avaliar
usaremos aproximações decentes (para pequeno podemos usar , para moderado podemos calcular e por séries se necessário). - Em cada passo mostrarei os valores arredondados a 4 casas decimais que serão usados na fórmula (isso é o pedido: 4 casas decimais para o cálculo da raiz).
Passo 3
Calculemos
e
(avaliando em radianos).
Definimos
.
Cálculo em
:
-
. - Para
estimamos e por séries rápidas:
Calculando (resumo dos termos, arredondados quando necessário):
- Assim
(arredondei para 4 casas decimais: ).
Cálculo em
(pequeno, usamos expansão de
):
-
-
- Logo
(arredondado para 4 casas decimais: ).
Resumo dos valores iniciais usados (arredondados a 4 casas, como combinado):
Passo 4
Primeira iteração do MSC → calcular
usando
e
.
A fórmula (com
) é
Substituindo os valores arredondados a 4 casas:
Calcule passo a passo (com 4 casas nos resultados intermediários):
-
. -
(mais precisamente , arredondamos para 4 casas: ). - Denominador:
. - Fração:
(arredondado a 4 casas: ). - Finalmente
Portanto, com 4 casas decimais usadas nos cálculos, obtemos
Passo 5
Avaliar
para usar na próxima iteração.
Com
(pequeno), aproximamos
mas o termo cúbico é muito pequeno:
-
-
(o termo cúbico é ≃4,17·10^{-8}). - Logo
Arredondando a 4 casas,
.
Passo 6
Segunda iteração → calcular
usando agora
e
.
Fórmula (com
):
Substituindo valores arredondados:
Calculemos:
-
-
(ou ). - Denominador:
- Fração:
(exatamente, nesta aproximação). - Logo
Arredondando a 4 casas, obtemos
Passo 7
Terceira iteração → calcular
usando
e
(última das 3 iterações pedidas).
Primeiro avalio
. Como
é muito pequeno (
se tivesse mais precisão), usando
temos
Arredondado a 4 casas isso dá
.
Agora aplicamos a fórmula (com
):
Substituindo os valores arredondados (todos praticamente zero a essa precisão) conduzimos a
Portanto após a terceira iteração adicional (três iterações do MSC iniciando em
e
) a aproximação da raiz, com 4 casas decimais, é
. Note que isso faz sentido:
é raiz exata da equação
, pois
.