(use 5 casas decimais) Dado o PVI
, obtenha uma aproximação de
para
usando os métodos a seguir:
Método de Euler.
Método de Euler.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
pede uma aproximação de
usando passo
pelo Método de Euler. As informações importantes são:
Calculamos o número de passos:
ou seja, precisamos obter
em
,
em
e
em
.]
Passo 2
Vou te ensinar o Método de Euler de forma simples e prática. A ideia é aproximar a solução por um polinômio de primeiro grau local: partimos do ponto conhecido
e usamos a inclinação
para avançar um passo
. A fórmula do Método de Euler explícito é
onde
é a função do lado direito da EDO, ou seja
. Explicando cada coisa:
-
é a aproximação para . -
. -
é a derivada no ponto , que dá a inclinação da reta tangente e serve para projetar até .
Essa fórmula vem da aproximação por primeira ordem
que é só a reta tangente — simples, direto e rápido para fazer à mão na prova. O erro global do método é proporcional a
(ordem 1), então com
a precisão é razoável para exercícios curtos.
Passo 3
Escrevemos a função
do problema:
Vamos aplicar a fórmula de Euler passo a passo. Registro que usarei cinco casas decimais no resultado final; nos cálculos intermédios apresento valores exatos e depois mostro com cinco casas decimais para facilitar sua conferência.
Dados iniciais:
Passo 4
Cálculo do primeiro passo:
, avançamos para
.
Calculamos
:
Aplicando Euler:
Arredondando para cinco casas decimais (conforme pedido):
Passo 5
Cálculo do segundo passo:
,
, avançamos para
.
Calculamos
:
Aplicando Euler:
Arredondando para cinco casas decimais:
Passo 6
Cálculo do terceiro passo:
,
, avançamos para
.
Calculamos
:
Aplicando Euler:
Arredondando para cinco casas decimais:
Passo 7
Resumo do que fizemos: avançamos três passos de tamanho
usando a fórmula de Euler
e obtivemos a aproximação final em
: