(use 5 casas decimais) Dado o PVI \left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(x)=2 x-y \\\ y(1,5)=4\end{array}\right., obtenha uma aproximação de y(3) para h=0,5 usando os métodos a seguir:
Método de Euler.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(x)=2x-y,\\[4pt] y(1,5)=4, \end{cases}
pede uma aproximação de y(3) usando passo h=0,5 pelo Método de Euler. As informações importantes são:
x_0=1,5,\quad y_0=4,\quad h=0,5,\quad x_{\text{final}}=3.
Calculamos o número de passos:
N=\frac{3-1,5}{0,5}=3,
ou seja, precisamos obter y_1 em x_1=2,0, y_2 em x_2=2,5 e y_3 em x_3=3,0.]

Passo 2

Vou te ensinar o Método de Euler de forma simples e prática. A ideia é aproximar a solução por um polinômio de primeiro grau local: partimos do ponto conhecido (x_n,y_n) e usamos a inclinação y'(x_n,y_n) para avançar um passo h. A fórmula do Método de Euler explícito é
y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),
onde f(x,y) é a função do lado direito da EDO, ou seja f(x,y)=y'(x). Explicando cada coisa:
  • y_n é a aproximação para y(x_n).
  • x_{n+1}=x_n+h.
  • f(x_n,y_n) é a derivada no ponto (x_n,y_n), que dá a inclinação da reta tangente e serve para projetar y até x_{n+1}.
Essa fórmula vem da aproximação por primeira ordem
y(x+h)\approx y(x)+h\,y'(x),
que é só a reta tangente — simples, direto e rápido para fazer à mão na prova. O erro global do método é proporcional a h (ordem 1), então com h=0,5 a precisão é razoável para exercícios curtos.

Passo 3

Escrevemos a função f do problema:
f(x,y)=2x-y.
Vamos aplicar a fórmula de Euler passo a passo. Registro que usarei cinco casas decimais no resultado final; nos cálculos intermédios apresento valores exatos e depois mostro com cinco casas decimais para facilitar sua conferência.
Dados iniciais:
x_0=1,5,\quad y_0=4,\quad h=0,5.

Passo 4

Cálculo do primeiro passo: n=0, avançamos para x_1=x_0+h=1,5+0,5=2,0.
Calculamos f(x_0,y_0):
f(1,5,4)=2\cdot 1,5-4=3-4=-1.
Aplicando Euler:
y_1=y_0+h\,f(x_0,y_0)=4+0,5\cdot(-1)=4-0,5=3,5.
Arredondando para cinco casas decimais (conforme pedido):
y_1=3,50000.

Passo 5

Cálculo do segundo passo: n=1, x_1=2,0, avançamos para x_2=2,5.
Calculamos f(x_1,y_1):
f(2,0,3,5)=2\cdot 2,0-3,5=4-3,5=0,5.
Aplicando Euler:
y_2=y_1+h\,f(x_1,y_1)=3,5+0,5\cdot 0,5=3,5+0,25=3,75.
Arredondando para cinco casas decimais:
y_2=3,75000.

Passo 6

Cálculo do terceiro passo: n=2, x_2=2,5, avançamos para x_3=3,0.
Calculamos f(x_2,y_2):
f(2,5,3,75)=2\cdot 2,5-3,75=5-3,75=1,25.
Aplicando Euler:
y_3=y_2+h\,f(x_2,y_2)=3,75+0,5\cdot 1,25=3,75+0,625=4,375.
Arredondando para cinco casas decimais:
y_3=4,37500.

Passo 7

Resumo do que fizemos: avançamos três passos de tamanho h=0,5 usando a fórmula de Euler y_{n+1}=y_n+h(2x_n-y_n) e obtivemos a aproximação final em x=3,0:
y(3)\approx y_3=4,37500.

Resposta

y(3)\approx 4,37500

Exercícios relacionados