Potência e energia
A potência de um sinal aleatório é finita ou infinita?

Passo 1

O enunciado pergunta se a potência de um sinal aleatório é finita ou infinita. O conteúdo envolve sinais de energia e sinais de potência, além de propriedades de processos aleatórios estacionários. Para responder, precisamos usar as definições de energia e potência de um sinal e a noção de segundo momento finito de um processo estacionário.

Passo 2

Vamos lembrar as definições clássicas para um sinal x(t):
E_x = \int_{-\infty}^{\infty} \bigl|x(t)\bigr|^2 \,dt
é a energia, e
P_x = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\bigl|x(t)\bigr|^2 \,dt
é a potência média.

Passo 3

Para um sinal aleatório X(t) estacionário em segundo ordem, adota-se a noção de potência em média de ensemble ou em média no tempo (pelos teoremas de ergodicidade). A energia
E_X = \int_{-\infty}^{\infty} \bigl|X(t)\bigr|^2 \,dt
é a integral de uma função não negativa ao longo de todo o eixo real e, salvo o caso trivial em que X(t)=0 quase certamente, ela diverge. Logo, a energia é infinita.

Passo 4

Já a potência média, usando ergodicidade ou o fato de X(t) ter segundo momento finito e não divergir, dá
P_X = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\bigl|X(t)\bigr|^2 \,dt = \mathbb{E}\bigl[|X(t)|^2\bigr] < \infty.
Aqui \mathbb{E}[|X(t)|^2] é finito por hipótese de sinal estacionário em segunda ordem.

Resposta

A potência de um sinal aleatório é finita.

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