Variáveis Complexas
O que é uma variável complexa?

Passo 1

O enunciado pergunta “o que é uma variável complexa?”. O conteúdo é Introdução a Variáveis Complexas, que faz parte de Análise Complexa. Para responder, precisamos definir primeiro o que é um número complexo, como o representamos, e então explicar o que significa tratá-lo como variável.

Passo 2

Um número complexo é um elemento de \mathbb{C} que podemos escrever na forma
z = x + i\,y
onde x e y são números reais, chamados, respectivamente, de parte real e parte imaginária de z, e i é a unidade imaginária, com a propriedade i^2 = -1.

Passo 3

Quando falamos em variável complexa, usamos um símbolo (por exemplo, z) para representar um número complexo que pode variar por todo o conjunto \mathbb{C}. Assim, dizemos
z \in \mathbb{C},\quad z = x + i\,y,\quad x = \Re(z),\;y = \Im(z),
e podemos visualizar cada z como um ponto (x,y) no plano cartesiano (plano de Argand).

Passo 4

No estudo de funções de variável complexa, consideramos funções f que têm como domínio e/ou contradomínio partes de \mathbb{C}. Por exemplo,
f(z) = z^2 + 1
é uma função onde o “input” z varia em \mathbb{C} e o “output” também é um número complexo. Tratar z como variável significa analisar como f(z) se comporta quando z percorre diferentes regiões do plano complexo.

Resposta

Uma variável complexa é um símbolo (geralmente z) que representa um número complexo qualquer, da forma
z = x + i\,y,\quad x,y\in\mathbb{R},\;i^2=-1,
e que pode assumir livremente qualquer valor em \mathbb{C}; é o “input” que varia nas funções estudadas em Análise Complexa.

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