Potenciação e radiciação
Efetue as operações indicadas com as raízes:
a) \sqrt{3} \cdot \sqrt{12}
b) \sqrt[3]{24} \cdot \sqrt[3]{3}
c) \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}}
d) \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2}
e) \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[4]{2}
f) \sqrt[3]{\frac{5}{2}} \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{2}}

Passo 1

O enunciado pede para multiplicar raízes de diferentes índices. Vamos usar que, quando as raízes têm o mesmo índice n,
\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\,b},
e, quando são de índices diferentes, convém passar para potência racional \sqrt[n]{x}=x^{1/n} e somar os expoentes ou usar índice comum (mínimo múltiplo).

Passo 2

Para a) \sqrt{3}\cdot\sqrt{12} as duas raízes são de índice 2, então
\sqrt{3}\,\sqrt{12} =\sqrt{3\cdot 12} =\sqrt{36} =6.

Passo 3

Para b) \sqrt[3]{24}\cdot\sqrt[3]{3} as duas raízes são de índice 3, então
\sqrt[3]{24}\,\sqrt[3]{3} =\sqrt[3]{24\cdot 3} =\sqrt[3]{72}.
Como 72=8\cdot9 e \sqrt[3]{8}=2, fica
\sqrt[3]{72} =2\,\sqrt[3]{9}.

Passo 4

Para c) \sqrt{\tfrac{3}{2}}\cdot\sqrt{\tfrac{1}{2}} são raízes quadradas, logo
\sqrt{\tfrac{3}{2}}\,\sqrt{\tfrac{1}{2}} =\sqrt{\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{2}} =\sqrt{\tfrac{3}{4}} =\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Para d) \sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{2} os índices são diferentes. Escrevendo em potência racional:
3^{1/2}\cdot 2^{1/3}.
Para unificar num único radical, o índice comum é 6, pois \mathrm{m.m.c.}(2,3)=6. Então
3^{1/2}=3^{3/6},\quad 2^{1/3}=2^{2/6} \;\longrightarrow\; 3^{3/6}\,2^{2/6}=(3^3\cdot2^2)^{1/6}=(27\cdot4)^{1/6} =\sqrt[6]{108}.

Passo 6

Para e) \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[4]{2}, note que 4=2^2. Em potência racional:
(2^2)^{1/3}\cdot2^{1/4} =2^{2/3}\cdot2^{1/4} =2^{\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{4}} =2^{\tfrac{8+3}{12}} =2^{11/12} =\sqrt[12]{2^{11}} =\sqrt[12]{2048}.

Passo 7

Para f) \sqrt[3]{\tfrac{5}{2}}\cdot\sqrt[5]{\tfrac{1}{2}}, escrevemos em potência racional:
\bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{1/3}\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{1/5} =5^{1/3}2^{-1/3}\cdot2^{-1/5} =5^{1/3}2^{-\bigl(\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{5}\bigr)} =5^{1/3}2^{-8/15}.
O índice comum é 15, então
5^{1/3}=5^{5/15},\quad 2^{-8/15} \;\longrightarrow\; \frac{5^{5/15}}{2^{8/15}} =\sqrt[15]{\frac{5^5}{2^8}} =\sqrt[15]{\frac{3125}{256}}.

Resposta

(a) 6
(b) 2\,\sqrt[3]{9}
(c) \tfrac{\sqrt{3}}{2}
(d) \sqrt[6]{108}
(e) \sqrt[12]{2048}
(f) \sqrt[15]{\tfrac{3125}{256}}

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