Potenciação e radiciação
Simplifique as expressões, supondo a \cdot b \neq 0.
a) \left(a^{2} \cdot b^{3}\right)^{2} \cdot\left(a^{3} \cdot b^{2}\right)^{3}
b) \frac{\left(a^{4} \cdot b^{2}\right)^{3}}{\left(a \cdot b^{2}\right)^{2}}
c) \left[\left(a^{3} \cdot b^{2}\right)^{2}\right]^{3}
d) \left(\frac{a^{4} \cdot b^{3}}{a^{2} \cdot b}\right)^{5}
е) \frac{\left(a^{2} \cdot b^{3}\right)^{4} \cdot\left(a^{3} \cdot b^{4}\right)^{2}}{\left(a^{3} \cdot b^{2}\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar várias expressões utilizando as propriedades de potenciação:
– produto de potências de mesma base: \,x^m\cdot x^n = x^{m+n},;
– potência de produto: (xy)^p = x^p y^p,;
– potência de potência: (x^m)^p = x^{m p};
– quociente de potências de mesma base: \,x^m / x^n = x^{m-n}.
Consideramos a\neq0 e b\neq0 para que todas as operações sejam válidas.

Passo 2

a) Aplicando (a^m b^n)^p = a^{m p} b^{n p}, calculamos
(a^2 b^3)^2 = a^{2\cdot2} b^{3\cdot2} = a^4 b^6,
(a^3 b^2)^3 = a^{3\cdot3} b^{2\cdot3} = a^9 b^6.
Em seguida, usando a^4 b^6\cdot a^9 b^6 = a^{4+9} b^{6+6}, obtemos
a) \;a^{13} b^{12}.

Passo 3

b) Primeiro elevamos (a^4 b^2)^3 e (a b^2)^2:
(a^4 b^2)^3 = a^{4\cdot3} b^{2\cdot3} = a^{12} b^6,
(a b^2)^2 = a^{1\cdot2} b^{2\cdot2} = a^2 b^4.
Dividindo potências de mesma base:
\frac{a^{12} b^6}{a^2 b^4} = a^{12-2} b^{6-4} = a^{10} b^2.
Logo
b)\;a^{10} b^2.

Passo 4

c) Temos uma potência de potência aninhada:
(a^3 b^2)^2 = a^{3\cdot2} b^{2\cdot2} = a^6 b^4,
de modo que
\bigl[(a^3 b^2)^2\bigr]^3 = (a^6 b^4)^3 = a^{6\cdot3} b^{4\cdot3} = a^{18} b^{12}.
Portanto
c)\;a^{18} b^{12}.

Passo 5

d) Dentro do parêntese, dividimos as potências de mesma base antes de elevar:
\frac{a^4 b^3}{a^2 b} = a^{4-2} b^{3-1} = a^2 b^2.
Agora elevamos ao expoente 5:
(a^2 b^2)^5 = a^{2\cdot5} b^{2\cdot5} = a^{10} b^{10}.
Assim
d)\;a^{10} b^{10}.

Passo 6

e) No numerador, aplicamos (a^2 b^3)^4 e (a^3 b^4)^2:
(a^2 b^3)^4 = a^{2\cdot4} b^{3\cdot4} = a^8 b^{12},
(a^3 b^4)^2 = a^{3\cdot2} b^{4\cdot2} = a^6 b^8.
Logo o numerador é a^8 b^{12}\cdot a^6 b^8 = a^{14} b^{20}. No denominador,
(a^3 b^2)^3 = a^{3\cdot3} b^{2\cdot3} = a^9 b^6.
Fazendo a divisão:
\frac{a^{14} b^{20}}{a^9 b^6} = a^{14-9} b^{20-6} = a^5 b^{14}.
Portanto
e)\;a^5 b^{14}.

Resposta

a) a^{13} b^{12}
b) a^{10} b^{2}
c) a^{18} b^{12}
d) a^{10} b^{10}
e) a^{5} b^{14}

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