Uma casca esférica condutora de raio R possui uma carga Q distribuída uniformemente. Determine o potencial elétrico em pontos: (a) r < R; b) r>R. Represente graficamente o potencial elétrico em função de r.

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico gerado por uma casca esférica condutora de raio R carregada com carga total Q. O conteúdo principal envolve a Lei de Gauss para obter o campo elétrico e a relação entre campo e potencial:
V(r) = -integralinfty^r Ecdot dr

Passo 2

Para r>R, aplicamos a Lei de Gauss em uma superfície esférica de raio r. O fluxo é
Phi = E(r),4pi r^2 = Qepsilon0,
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E(r) = 14piepsilon0Qr^2(r>R)

Passo 3

Para r<R, dentro da casca condutora, a carga está toda na superfície e a simetria esférica garante que
E(r) = 0(r<R)

Passo 4

Agora obtemos o potencial para r>R integrando de infty até r:
V(r) = -integralinfty^rE(r'),dr' = -integralinfty^r14piepsilon0Qr'^2,dr' = 14piepsilon0Qr

Passo 5

Para r<R, como E=0, o potencial é constante e igual ao valor na superfície r=R:
V(r) = V(R) = 14piepsilon0QR(r<R)

Passo 6

O gráfico de V(r) em função de r é um platô constante até r=R com valor kQ/R (onde k=1/4piepsilon0), e para r>R decai como 1/r:
para r<R:;V(r)=kQR, para r>R:;V(r)=kQr

Resposta

(a) Para r<R:
V(r)=14piepsilon0QR
(b) Para r>R:
V(r)=14piepsilon0Qr

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